Hay un Hamiltoniano para el (clásico) del campo electromagnético? Si es así, ¿cómo puede ser derivada de la de Lagrange?

Question

El clásico de Lagrange para el campo electromagnético es

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - J^\mu A_\mu.$$

También hay un Hamiltoniano? Si es así, ¿cómo obtenerlo? Yo sé cómo se escribe el Hamiltoniano de la Lagrangiana donde los derivados se toman sólo con respecto al tiempo, pero no puedo ver la manera obvia para generalizar este.

Answer 1

Sí. Hay una forma estándar para generalizar a la teoría de campo.

Vamos a una teoría de la $n\geq 1$ campos de $\phi^i$, con una densidad Lagrangiana $\mathcal L = \mathcal L(\phi^i, \partial_\mu\phi^i)$ ser dado. Aquí se utiliza el estándar de abuso de notación en el que $\phi^i$ denota el vector cuyas componentes son los campos; $\phi^i = (\phi^1, \dots, \phi^n)$.

Para la obtención de la correspondiente densidad hamiltoniana, primero se define el siguiente canónica impulso correspondiente al campo de $\phi^i$: \begin{align} \pi_i(x) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot \phi^i}(\phi^i(x), \partial_\mu\phi^i(x)), \qquad \dot\phi^i := \partial_t\phi^i \tag{1} \end{align} A continuación, el Hamiltian densidad es \begin{align} \mathcal H = \pi_i\dot\phi^i - \mathcal L \end{align} donde una suma de $i$ es implícita. Tenga en cuenta que como en la mecánica clásica, en el lado derecho de esta expresión, $\dot \phi^i$ debe ser reemplazado con su expresión en términos de$\pi_i,\phi^i$, de modo que el Hamiltoniano es una función de $(\pi_i, \phi^i)$, a saber: \begin{align} \mathcal H(\pi_i, \phi^i) = \pi_j \,\dot\phi^j(\pi_i,\phi^i) - \mathcal L(\phi^i, \dot\phi(\pi_i,\phi^i)). \end{align} De nuevo hemos abusado de la notación ligeramente aquí en la escritura de $\dot\phi^i$ como una función de la $\pi_i$$\phi^i$. Lo que queremos decir es la expresión de la $\dot\phi^i$ se obtiene mediante la resolución de la definición de $(1)$ de la canónica de impulso para $\dot\phi^i$ en términos de$\pi_i$$\phi^i$.

En su caso, los campos se $A^\mu$, con la correspondiente momenta $\pi_\mu$.