Estoy trabajando a través de Paolo Aluffi del nuevo texto GSM en mi propio (auto-estudio). En la página 63, él le pide al lector que
Demostrar que $\Bbb{Q}$ no es el producto directo de dos trivial grupos.
Para algunas contexto, este es un ejercicio siguiente una sección titulada "La categoría Grp". Estoy asumiendo que significa "no es isomorfo al producto directo de dos trivial grupos", y puedo ver de dos formas posibles de proceder con esta prueba, pero no han tenido éxito con cualquiera de los dos enfoques.
Enfoque 1: Mostrar que el aditivo grupo de los racionales tiene una propiedad que se conserva por isomorfismo que el producto directo de dos trivial grupos no tienen o vice-versa. Esto parece difícil, a menos que pueda reducir significativamente las propiedades que un producto directo de dos trivial grupos que se isomorfo a $\Bbb{Q}$ tendría necesariamente.
Enfoque 2: teniendo en cuenta la sección en la que esta cuestión se produce, muestran que si $G$ $H$ son no triviales grupos y $\Bbb{Q} \cong G \times H$, entonces hay homomorphisms $\varphi_{G}:\Bbb{Q} \rightarrow G$ $\varphi_{H}:\Bbb{Q} \rightarrow H$ que no es el factor o no factor de forma exclusiva a través del producto $G \times H$. Esto sería una contradicción, como $G \times H$ es el objeto final en la categoría de Grp.
Yo agradecería sugerencias sobre cómo proceder con cualquiera de estos enfoques o con métodos alternativos.
