Suma De Riemann De La Optimización De La

Question

Por el momento, me estoy tomando un curso de cálculo en mi escuela secundaria (estamos empezando a aprender acerca de las integrales) y el pensamiento de un problema interesante, mientras que el aprendizaje acerca de las Sumas de Riemann. Una vez que desarrollar un método para resolver este problema para cualquier general de la curva, espero escribir un script en python.

Problema

Considerar los siguientes parámetros:

• $y = f(x) = (x - 1.5)^{1/3} + 2$
• Dominio: $[-2, 6]$
• $n = 4$
• El ancho de cada subdivisión, $\Delta w_k$, no tienen que ser iguales.

El uso de la mano izquierda en los extremos, la mano derecha de los puntos finales, puntos medios, o una combinación de los tres, ¿cómo puede usted orientar los rectángulos para cubrir la mayor área debajo de la curva? Idealmente, la intención de secuencia de comandos de python quiero escribir implicaría un algoritmo que puede ser aplicado a cualquier curva particular, cualquier dominio específico de intervalo, y cualquier número de subdivisiones.

¿Cómo podría siquiera acercarse a este problema? ¿Qué pasos podría describir?

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Gráfico de $y = f(x) = (x - 1.5)^{1/3} + 2$

El mismo Gráfico con Diferentes Anchos

Este es un ejemplo que implica el punto medio de la aproximación con diferentes anchos ($\Delta w_k$).

Answer 1

OK, sabemos que la suma de Riemann es una aproximación a la integral de la $I = \int_a^b f(x) \, dx$. En este caso, el valor de la integral es $I = 16 + (3/4) ((9/2)^{4/3} - (7/2)^{4/3}) \approx 17.5865$. La suma de Riemann mediante la regla del punto medio como que usted especifique

$$S(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{4} \left [ f \left (\frac{a+x_1}{2} \right )(x_1-a) + f \left (\frac{x_1 + x_2}{2} \right )(x_2-x_1) + f \left (\frac{x_2+x_3}{2} \right )(x_3-x_2) + f \left (\frac{x_3+b}{2} \right )(b-x_3) \right ]$$

Queremos minimizar la diferencia entre el$S$$I$. En realidad, no es muy precisa: queremos minimizar el valor absoluto de la diferencia entre S y I. Y si tenemos acceso a un multivariable de minimización de rutina, tales como el simplex, podríamos hacerlo. Sin embargo, si queremos analizar las cosas más analíticamente para el código de Python, podríamos elegir para minimizar el cuadrado de la diferencia entre el $S$ y yo:

$$\Delta(x_1,x_2,x_3) = (I - S(x_1,x_2,x_3))^2$$

Ahora, si este es su primer curso de Cálculo, a continuación, lo que hacemos aquí va a ser nuevo; normalmente no se lean estos conceptos hasta de Cálculo III. ¿Qué debemos hacer a continuación es encontrar los derivados de la $\Delta$ con respecto a cada una de las $x_i$, sostiene el otro $x_j$ constante; esto se denomina derivada parcial con respecto a $x_i$. Por ejemplo:

$$ \frac{\partial \Delta}{\partial x_1} = -2 (I - S(x_1,x_2,x_3)) \frac{\partial S}{\partial x_1} $$

$$ \frac{\partial S}{\partial x_1} = \frac{1}{4} \left [\frac{1}{2} f' \left (\frac{a+x_1}{2} \right )(x_1-a) + f \left (\frac{a+x_1}{2} \right ) + \frac{1}{2} f' \left (\frac{x_1 + x_2}{2} \right )(x_2-x_1) - f \left (\frac{x_1 + x_2}{2} \right ) \right ] $$

Hacer lo mismo para los otros puntos de $x_2$$x_3$. A continuación, establezca cada uno de los $\frac{\partial \Delta}{\partial x_i} = 0$, que es equivalente a establecer $\frac{\partial S}{\partial x_i} = 0$. Tendrás 3 ecuaciones y 3 incógnitas en un sistema no lineal de ecuaciones. Usted puede tratar de resolver para el $x_i$ analíticamente, o puede utilizar un numérica de rutina para encontrarlos.

Espero que le ayude. Buena suerte!