¿Cómo podemos mostrar $\cos^6x+\sin^6x=1-3\sin^2x \cos^2x$?

Question

Cómo se puede simplificar $\cos^6x+\sin^6x$$1−3\sin^2x\cos^2x$?

Un enfoque razonable parece ser el uso de $(\cos^2x+\sin^2x)^3=1$, ya que contiene los términos de $\cos^6x$$\sin^6x$. Otra posibilidad sería la de sustituir todas las apariciones de $\sin^2x$ $1-\cos^2x$ en ambos lados y, a continuación, comparar los resultados.

Hay otras soluciones más simples planteamientos?

He encontrado algunas otras preguntas acerca de la misma expresión, pero que simplificar esta otra forma: Hallazgo $\sin^6 x+\cos^6 x$, lo que estoy haciendo mal aquí?, Alternativas de la prueba de $\cos^6{\theta}+\sin^6{\theta}=\frac{1}{8}(5+3\cos{4\theta})$ y Simplificar $2(\sin^6x + \cos^6x) - 3(\sin^4 x + \cos^4 x) + 1$. Quizás también Demostrar que $\sin^{6}{\frac{\theta}{2}}+\cos^{6}{\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{4}(1+3\cos^2\theta)$ pueden ser considerados similares. La expresión $\cos^6x+\sin^6x$ también aparece en esta integral Encontrar $ \int \frac {\tan 2x} {\sqrt {\cos^6x +\sin^6x}} dx $ , pero de nuevo se transforma en una diferente a partir de entonces se requiere aquí.

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Nota: La principal razón para la publicación de este es que esta pregunta se ha eliminado, pero sigo pensando que la respuesta podría ser útil para las personas el aprendizaje de la trigonometría. Esperemos que esta nueva cuestión no sería cerrada por falta de contexto. Y las respuestas de los eliminados de la pregunta podría ser movido de aquí.

Answer 1

Sugerencia. Uso de la identidad: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)=(A+B)((A+B)^2-3AB)$.

Answer 2

Factorización de $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$: \begin{align} \cos^6x+\sin^6x&=(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^4x-\cos^2x\sin^2x+\sin^4x)\\ &=(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\cos^2x\sin^2x-\cos^2x\sin^2x\\ &=1-3\cos^2x\sin^2x \end{align}

Answer 3

Si $a+b+c=0\;,$ $a^3+b^3+c^3=3abc$

Ahora escribir Identidad como $$\sin^2 x+\cos^2 x+(-1) = 0\;,\text{ Then }\sin^6 x+\cos^6 +(-1)^3 = -3\sin^2 x\cos^2 x$$

Answer 4

$$(\cos^2 x+\sin^2x)^3=1^3=\cos^6x+3\cos^4x\sin^2x+3\cos^2x\sin^4x+\sin^6x$$

$$\cos^6x+\sin^6x=1-3\cos^2x\sin^2x(\cos^2x+\sin^2x)$$ tan $$\cos^6x+\sin^6x=1-3\cos^2x\sin^2x$$

Answer 5

Cualquier polinomio simétrico en $X$ $Y$ se puede expresar como un polinomio en $S=X+Y$$P=XY$. Si $X=\cos^2x$$Y=\sin^2x$,$S=\cos^2x+\sin^2x=1$, por lo que un polinomio simétrico expresión en $\cos^2x$ $\sin^2x$ puede ser escrito como un polinomio en $P=\cos^2x\sin^2x$.

Si el polinomio simétrico es también homogénea, todos los términos de la nueva expresión son homogéneos así.

En este caso, $P$ aparece en la mayoría con grado de $1$, debido a $P$ cuenta para el grado $2$$X$$Y$.

Por lo tanto $X^3+Y^3=a+b(X+Y)^3+c(X+Y)XY$; la evaluación de a $X=Y=0$ conlleva $a=0$. Con $X=1$ $Y=0$ obtenemos $b=1$; con $X=1$ $Y=1$ tenemos $$ 1+1=8+2c $$ por lo $c=-3$; por lo tanto $$ \cos^6x+\sin^6x=1-3\cos^2x\sen^2x $$

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Como otro ejemplo, $X^4+Y^4=a(X+Y)^4+bXY(X+Y)^2+c(XY)^2$. La evaluación en $X=1$ $Y=0$ da $1=a$; la evaluación de a $X=1$ $Y=-1$ da $2=c$; la evaluación de a $X=Y=1$ da $2=16a+4b+c$, lo $b=-4$.

Por lo tanto $$ \cos^8x+\sin^8x=1-4\cos^2x\sen^2x+2\cos^4x\sin^4x $$