Para evaluar…

Question

Con la Transformación de Fourier ,se puede conseguir fácilmente $$\int_{0}^{\infty }\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}~\mathrm{d}x=\frac{\pi e^{-a}}{2a}~,~\Re\left ( a \right )> 0$$ y con la ayuda de wolframalpha he encontrado $$\int_{0}^{\infty }\frac{\cos x}{\left ( x^2+a^{2} \right )\left ( x^2+b^{2} \right )}~\mathrm{d}x=\frac{\pi ae^{-b}-\pi be^{-a}}{2a^{3}b-2ab^{3}}~,~\Re\left ( a \right )>0,\Re\left ( b \right )>0$$ Pero no sé cómo demostrarlo.

Además,me gustaría saber es que hay una forma cerrada para la forma general a continuación $${\Large{\int}}_{0}^{\infty }\frac{\cos x}{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty }\left ( x^{2}+a_{i}^{2} \right )}~\mathrm{d}x~,~\Re(a_i)＞0$$

Answer 1

En primer lugar, creo que tienes una errata y $x$ debe $x^2$. En este caso podemos escribir $\displaystyle \frac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}=\frac{1}{b^2-a^2}\left(\frac{1}{x^2+a^2}-\frac{1}{x^2+b^2}\right)$. Ahora usted puede dividir en dos integrales de la forma $\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x^2+a^2}\text{d}x$ que usted sabe cómo calcular.

Para el caso general de $\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(x)}{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty}(x^2+a_i^2)}\text{d}x$ creo que podemos usar el mismo método de la fractura de la multiplicación en las fracciones de la forma $\displaystyle \frac{1}{x^2+a_i^2}$ y utilizando el resultado conocido.

La buena suerte.

Answer 2

Tome $\;f(z):=\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\;,\;\;a>0\;$, y el contorno

$$C_R:=[-R,R]\cup\Gamma_R\;,\;\;\Gamma_R:=\{z=Re^{it}\in\Bbb C\;;\;\;0<t<\pi\}\;,\;\;\;R\in\Bbb R^+$$

Observar que dentro del dominio encerrada por el contorno de nuestra función tiene un único simple polo: $\;z=ai\;$ , por lo que

$$\oint_{C_R}f(z)\,dz=2\pi i\cdot\text{Res}(f)|_{z=ai}$$

Ahora

$$\text{Res}(f)|_{z=ai}=\lim_{z\to ai}(z-ai)f(z)=\frac{e^{-a}}{2ai}\implies$$

$$\frac\pi{ae^a}=2\pi i\frac{e^{-a}}{2ai}=\oint_{C_R}f(z)\,dz=\int_{-R}^R\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx+\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz$$

Pero

$$\left|\int_{\Gamma_R}f(z)\right|\le\ell(\Gamma_R)\cdot\max_{z\in\Gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\le\frac{\pi R}{2|(R^2e^{it}+a^2)|}\le\frac{\pi R}{2R^2-2a^2}\xrightarrow[R\to\infty]{}0$$

Así que, finalmente,

$$\frac\pi{ae^a}=\lim_{R\to\infty}\oint_{C_R}f(z)\,dz=\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x+i\sin x}{x^2+a^2}dx$$

Ahora basta con comparar los elementos reales (y observe que el integrando es una función par).