Sea ${{n} \choose {r}} = 8$ .
¿Hay alguna otra opción de $n$ y $r$ excepto $8$ y $1$ , $8$ y $7$ ?
En general, ¿cómo comprobar si la existencia está garantizada o no?
@ Tad, en caso de que se sustituya 8 por un número grande, ¿hay alguna otra forma de comprobar la existencia que no sea comprobando todos los casos finitos posibles.Aunque debería haberlo preguntado en la propia pregunta.
La siguiente opción es ${m\choose2}={m(m-1)\over2}=n$ para lo cual $8n+1=(2m-1)^2$ . A continuación, sólo tiene que comprobar $m<\sqrt{2n}$
No estoy seguro de lo que quiere decir con "todos los casos finitos posibles". Yo simplemente intentaría cada fila del triángulo de Pascal en orden, empezando por la izquierda. Dejas de buscar en el $m$ -ésima fila en cuanto $\binom mr>n$ y recuerdas que $r$ para la siguiente fila, ya que $\binom {m+1}r$ será aún mayor. Un análisis asintótico en la línea que sugiere @Michael es posible, pero creo que está fuera del alcance de lo que estás buscando.
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También hay $8$ y $7$ (estas cosas son simétricas)
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Sí, tienes razón. ¿Hay algún otro par de este tipo.
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Lo dudo, 8 es una potencia de 2 y los factoriales suelen implicar otros primos. Pero eso no es una prueba.
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@Gregory Grant, ¿Cómo potencia de 2 está ayudando aquí? Puede ser pero hay factoriales en denominador también.
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¿Qué quiere decir con "comprobar que la existencia está garantizada"?
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@ Cameron Buie, es un defecto de escritura, ya que ''la existencia misma significa garantizada''. De todas formas solo quiero saber si esos números existirán o no.