$\frac{\log _{10}\left(2\right)}{\log _{10}\left(\sin \left(x\right)\right)}\le \frac{\log _{10}\left(4\sin ^2\left(x\right)\right)}{\log _{10}\left(\sin \left(x\right)\right)}$
Del título. No es una tarea.
Respuestas
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Peter Woolfitt
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Primero asumimos $x\in(2\pi n,2\pi n+\pi)$ y $x\ne\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ para que $\dfrac{1}{\log(\sin x)}$ tiene sentido. Ahora bien, como $0<\sin x<1$ tenemos que $\log(\sin x)<0$ . Por lo tanto, multiplicando ambos lados por $\log(\sin x)$ invierte la desigualdad y el resto es fácil.
$$\begin{align} &\frac{\log2}{\log(\sin x)}\le\frac{\log(4\sin^2x)}{\log(\sin x)} \\\iff&\log2\ge\log(4\sin^2x) \\\iff&2\ge4\sin^2x \\\iff&\frac{1}{\sqrt{2}}\ge\sin x \end{align}$$
Nótese que en la última línea estamos utilizando implícitamente $0<\sin x$ .
Por lo tanto, $x\in(2\pi n,2\pi n+\frac{\pi}{4}]\cup[2\pi n+\frac{3\pi}{4},2\pi n+\pi)$ .
A primera vista, esta cosa parece una bestia, pero con unos simples ajustes podemos llegar a la respuesta. Empecemos por ver el problema, $$\frac{\log _{10}\left(2\right)}{\log _{10}\left(\sin \left(x\right)\right)}\le \frac{\log _{10}\left(4\sin ^2\left(x\right)\right)}{\log _{10}\left(\sin \left(x\right)\right)}$$
Vemos que el denominador es el mismo por lo que podemos cancelarlos dejando,
$${\log _{10}\left(2\right)\le \log _{10}\left(4\sin ^2\left(x\right)\right)}$$
Como ambos lados son logaritmos con base "10", eso significa lo mismo que dice el lado izquierdo,
$$10^\left(something\right)=2$$ y la derecha, $$10^\left(something\right)=4\sin^2(x)$$
Podemos empezar asumiendo para una condición inicial en la que el $10^\left(somethings\right)$ son iguales por lo que nos queda, $$2=4\sin^2(x)$$
Ahora todo lo que tenemos que hacer es volver a poner la desigualdad en la mezcla y resolver para 'x', pero como Peter Woolfitt señaló nuestro denominador es negativo por lo que nuestra desigualdad necesita ser invertida, $$2\ge4\sin^2(x)$$ lo que lleva a, $$\frac{1}{2}\ge\sin^2(x)$$ y luego deshacerse del término al cuadrado, $$\frac{1}{\sqrt2}\ge\sin(x)$$
Ahora, para esta última parte, queremos resolver para 'x', pero como señala JChau, tenemos que tener cuidado.
Buscamos valores para 'x' (o $\theta$ ) donde el valor de $sin(\theta)$ es menor o igual que $\frac{1}{\sqrt2}$ . Pensando en el círculo unitario y en dónde $\sin\frac{\Pi}{4}$ mentiras (y que $\sin\theta$ es una representación de los valores 'y' en el círculo unitario) necesitamos que nuestra igualdad se cumpla para todos los $\theta$ donde el valor "y" es menor que $\frac{1}{\sqrt2}$ que sería todo $\theta$ barriendo en el sentido de las agujas del reloj desde $\frac{3\Pi}{4}$ a $\frac{\Pi}{4}$
Así que ahora tenemos que escribir esto, $$\frac{\Pi}{4}\ge x\ge\frac{3\Pi}{4}$$
Pero esto todavía no resuelve del todo el problema porque en una circunferencia unitaria podemos hacer ángulos que pueden llegar hasta el infinito y cada vez $\sin(\theta)$ está en este mismo "rango" la respuesta será verdadera. Así que para esto añadimos lo siguiente, $$\frac{\Pi}{4}+2\Pi[k] \ge x\ge\frac{3\Pi}{4}+2\Pi[k]$$
El $+2\Pi$ se encarga del ángulo, y el [k] representa cualquier número entero real para 'k', de modo que podemos cubrir todos los ángulos hasta $\sin(\theta*\inf)$ y $\sin(-\theta*\inf)$ . Debo añadir que hay una forma "correcta" de escribir esto y no es ésta.
Como puedes ver, no hace falta mucho para simplificar el problema inicialmente a unos términos que podamos resolver más fácilmente (sólo hay que tener cuidado con dónde se cumple la desigualdad y en qué dirección apunta, son las cosas sencillas las que te hacen daño:)
Espero que esto ayude.
Mary Star
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148
$$\frac{\log _{10}\left(2\right)}{\log _{10}\left(\sin \left(x\right)\right)}\le \frac{\log _{10}\left(4\sin ^2\left(x\right)\right)}{\log _{10}\left(\sin \left(x\right)\right)} $$
Para que el logaritmo esté bien definido debe ser:
$$\sin \left(x\right)>0 \Rightarrow 2 \pi n <x<2 \pi n +\pi, n \in \mathbb{Z} \ \ \ (1)$$
Desde $0< \sin \left(x\right) \leq 1$ , $\log _{10}\left(\sin \left(x\right)\right)<0$ .
Por lo tanto, multiplicando ambos lados de la desigualdad por $\log _{10}\left(\sin \left(x\right)\right)$ obtenemos lo siguiente:
$$\log _{10}\left(2\right) \geq \log _{10}\left(4\sin ^2\left(x\right)\right) \\ \Rightarrow 10^{\log _{10}\left(2\right)} \geq 10^{\log _{10}\left(4\sin ^2\left(x\right)\right)} \\ \Rightarrow 2 \geq 4 \sin^2\left(x\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \geq \sin^2\left(x\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \geq \left | \sin\left(x\right) \right | \\ \Rightarrow \sin\left(x\right) \geq -\frac{1}{\sqrt{2}} \text{ or } \sin\left(x\right) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$$
La primera desigualdad se mantiene ya que debería ser $\sin\left(x\right)>0$ .
Por lo tanto, tenemos que encontrar para qué $x$ la segunda desigualdad se mantiene.
$$\sin\left(x\right) \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2 \pi n-\frac{5}{4} \pi \leq x \leq 2 \pi n +\frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} \\ \Rightarrow 2 \pi (n-1)+\frac{3}{4} \pi \leq x \leq 2 \pi n +\frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} \ \ \ (2)$$
Por lo tanto, para resolver la desigualdad original hay que encontrar qué $x$ satisfacen simultáneamente las relaciones $(1)$ y $(2)$ .
$$2 \pi n <x \leq 2 \pi n +\frac{\pi}{4} \text{ and } 2 \pi n+\frac{3}{4} \pi \leq x < 2 \pi n+\pi, n \in \mathbb{Z}$$
Por lo tanto, la desigualdad representa $\displaystyle{x \in (2 \pi n,2 \pi n +\frac{\pi}{4}] \cup [ 2 \pi n+\frac{3}{4} \pi,2 \pi n+\pi), n \in \mathbb{Z}}$
Martin
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21
$$\frac{\log(2)}{\log(\sin x)}\leq \frac{4\sin^2 x}{\log(\sin x)}$$ Multiplica ambos lados por $\log(\sin x)$ invirtiendo la desigualdad y eliminando los denominadores. $$\log(2)\geq \log(4\sin^2 x)$$ Deshazte del $\log$ s. $$2\geq 4\sin^2 x$$ $$\frac 12\geq \sin^2 x$$ $$\frac 1{\sqrt 2}\geq \sin x$$ Aquí hay un gráfico de la desigualdad:
La línea roja es el gráfico de $y=\sin x$ y la línea azul es el gráfico de $y=\frac 1{\sqrt 2}$ .
Las soluciones son las regiones donde la línea roja está por debajo de la línea azul (incluso cuando toca la línea azul). Hay una cantidad infinita de soluciones, pero hay una solución general.
La solución general es:
$$x\in \left(2\pi n, 2\pi n+\frac{\pi}4\right]\cup \left[2\pi n+\frac{3\pi}{4}, 2\pi n+\pi\right), \ n\in \mathbb Z$$
Si no estás familiarizado con la notación de intervalos, entonces básicamente las soluciones para $x$ son:
$$2\pi n< x\leq 2\pi n +\frac{\pi}4 \ \text{AND} \ 2\pi n +\frac {3\pi}4\leq x<2\pi n+\pi, \ n\in \mathbb Z$$
Zlatko
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182
Obsérvese que la desigualdad sólo puede tener sentido para $x$ para que $0<\sin(x)<1$ . En este caso la desigualdad parece equivalente a
$$\log_{\sin(x)}(2)\le\log_{\sin(x)}(4\sin^{2}(x))$$
por la fórmula de cambio de base. Así que:
$$2=\sin(x)^{\log_{\sin(x)}(2)}\ge\sin(x)^{\log_{\sin(x)}(4\sin^{2}(x))}=4\sin^{2}(x)$$
desde $0<\sin(x)<1$ (lo que significa que la función $y\to\sin(x)^{y}$ es decreciente) y por lo tanto $$\frac{1}{\sqrt{2}}\ge\lvert \sin(x)\rvert=\sin(x)$$
