Resultando estas sumas trigonométricas $\sum\limits_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k^2\pi}{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\cos\frac{n\pi}{2}-\sin\frac{n\pi}{2}+1\right)$

Question

Alguien me puede ayudar a demostrar que:

$$ \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k^2\pi}{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\cos\frac{n\pi}{2}-\sin\frac{n\pi}{2}+1\right)$$

$$\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k^2\pi}{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\cos\frac{n\pi}{2}+\sin\frac{n\pi}{2}+1\right)$$

Answer 1

Deje $A = \sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k^2\pi}{n}$ $B = \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k^2\pi}{n}$ entonces estamos buscando a mostrar:

$$ \sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi i k^2/n} = A + iB = e^{\tfrac{\pi i n}{2}}\sqrt{n}\tfrac{1+i}{2} $$

Creo que esta es la suma de Gauss

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He visto el de Gauss suma de los números primos $p$, pero no necesariamente para $n$. Sin embargo,

Usted sabe que el valor absoluto porque se puede encontrar en la norma, es decir, multiplicar por el conjugado complejo, o utilizar el Teorema de Parseval

$$ \bigg|\bigg|\sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi i k^2/n}\bigg|\bigg|^2 = \sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi i k^2/n} \times \overline{\sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi i k^2/n}} = 1\cdot 1 + \dots 1 + \cdot 1 = n$$

La norma de nuestro Gauss suma es $\sqrt{n}$ y tenemos que calcular el signo.