Significado correcto de los dos espacios se homotopy equivalente en un espacio

Question

Deje $p_0 : A \to X_0 $ $p_1 : A \to X_1$ dos mapas. Estoy confundido acerca de lo que significa decir que ' $X_0$ $X_1$ son homotopy equivalente en $A$'. Cuál de las siguientes afirmaciones es esto equivalente a :

1.) $\exists f: X_0 \to X_1, g: X_1 \to X_0$ tal que $f \circ g \sim_{p_1} id_{X_1}$ $g \circ f \sim_{p_0} id_{X_0}$

o

2.) $\exists f,g$ en la condición (1), que deben ser mapas en $A$ es decir $f \circ p_0 =p_1$$g \circ p_1 = p_0$.

La confusión surge porque el problema 8 en la página 207 de la Topología Algebraica por Tammo tom Dieck pide a demostrar que homotópica adjuntar mapas dar lugar a homotopy equivalente (en virtud de la menor dimensión del esqueleto) CW-complejos. Esto no parece ser cierto si se entiende en el sentido más fuerte de la condición (2), mientras que mi intuición me dice que el significado correcto de la terminología (2). De ahí la confusión

Answer 1

El resultado es

Deje $(X,A)$ ser cofibered y asumen $f_0,f_1:A\to Y$ son los mapas que son homotópica por $H_t:A\to Y$. A continuación, $Z_0=X\cup_{f_0}Y$ $Z_1=X\cup_{f_1}Y$ son homotopy equivalente rel $Y$.
Prueba: Vamos a $Z=X\times I\cup_H Y$ ser el espacio obtenido por encolado $X×I$ a lo largo de la homotopy en $A×I$$Y$. Este espacio contiene $Z_0$ como el subespacio $(X×\{0\}\cup A×I)\cup_H Y$, y de la misma manera $Z_1$. Si $q:X×I\sqcup Y\to Z$ es el cociente mapa, el mapa de producto $q×\mathbf 1_I:X×I×I\sqcup Y×I\to Z×I$ es un cociente de mapa, así como la $I$ es localmente compacto. Por lo tanto, un homotopy en $Z$ está dado por compatible homotopies $X×I\to Z$$Y\to Z$. En $X×I$ dejar que el homotopy enviar $(x,s,t)$ $d(x,s,t)$donde $d:X×I×I\to X×I$ es el homotopy retracción $X×I×I$$X×\{0\}\cup A×I$. En $Y$ dejar que el homotopy ser independiente en $t$. El resultado homotopy en $Z$ retrae $Z$ a $Z_0$. Del mismo modo, hay una homotopy retracción $Z$ a $Z_1$. Puesto que los mapas $Z_0\hookrightarrow Z$ $Z\to Z_1$ son homotopy equivalencias rel $Y$, por lo que es su composición.

He aquí un ejemplo, que es algo trivial, ya que ambos contigüidad espacios son la deformación de retracción a $Y$, pero sirven como una ayuda para ver cómo la homotopy parece.
Deje $X=Y=I$ $A=\{0\}$ y deje $f_i(0)=i$ con el homotopy $H_s(0)=s$. Podemos pensar de $Z_0$ $I×\{0\}\cup\{0\}×I$ e de $Z_1$$I×\{1\}\cup\{0\}×I$. Si $g:Z_0\to Z_1$ es el mapa resultante de la incrustación $Z_0$ a $Z$ y, a continuación, componiendo con la deformación de retracción en $Z_1$, y del mismo modo para $h:Z_1\to Z_0$, $hg$ envía $[0,1/2]×\{0\}$ y $[1/2,3/4]$ convexa linealmente a $\{0\}×I$, e $[3/4,1]×\{0\}$$I×\{0\}$$hg(0,0)=(0,0),\ hg(1/2,0)=(0,1),\ hg(3/4,0)=(0,0)$, e $hg(1,0)=(1,0)$, y el homotopy tira del lazo $g([0,3/4])$ a $I×\{0\}$.