Intuición de la teoría de Chern-Weil

Question

Dejemos que $ P \rightarrow M$ ser un $G$ -principal. El álgebra de mentira de $G$ es $\frak{g}$ y $P$ tiene forma de conexión $\omega \in H^1(P,\frak{g})$ y la forma de curvatura $\Omega \in H^2(P,\frak{g})$ . Consideramos que $I^*(G)$ el conjunto de polinomios invariantes de $G$ es decir, las funciones multilineales $f: \frak{g} \times ... \times \frak{g} \rightarrow \mathbb{R}$ satsificando

$f(Ad(g)X_1,...,Ad(g)X_k) = f(X_1,...,X_n)$

para todos $g \in G$ con $Ad(g) = (R_g)_*$ el mapa inducido en $\frak{g}$ mediante la multiplicación por la derecha con un elemento de $G$ . Resulta muy sorprendente que

1)la forma

$f(\Omega)(V_1,...,V_{2k}) = f(\Omega(V_1,V_2),...,\Omega(V_{2k-1},V_{2k}))$

se puede proyectar a una forma en $H^{2k}(M)$ es independiente de la elección de la conexión para $P$ y

2) en el caso del $GL(n,\mathbb{K})$ -(con $\mathbb{K} = \mathbb{R} $ o $ \mathbb{C}$ ) asociado a un haz de vectores esta forma representa una clase característica del haz.

Mi problema es que he leído las pruebas de las afirmaciones pero no siento que entienda por qué son ciertas. En otras palabras, ¿qué hizo que Chern y Weil esperaran que esta construcción produjera clases características?

Answer 1

La teoría de Chern-Weil es una amplia generalización del teorema clásico de Gauss-Bonnet.

El teorema de Gauss-Bonnet dice que si $\Sigma$ es una Riemanniana cerrada $2$ -con curvatura gaussiana $K$ entonces $$\int_\Sigma K \,dA = 2\pi \chi(\Sigma).$$ En la década de 1940, Chern generalizó este resultado a todas las variedades riemannianas de dimensiones pares $M$ : si $\dim(M) = 2n$ y $\Omega$ es la forma de curvatura de la conexión Levi-Civita en $M$ entonces $$\int_M \mathrm{Pf}(\Omega) = (2\pi)^n \chi(M).$$

Después de demostrar la fórmula de Chern-Gauss-Bonnet anterior, Chern tuvo la idea de que la fórmula se refiere a una $\mathrm{SO}(2n)$ -(el haz de marcos del haz tangente de $M$ ) y una conexión particular sobre ese haz (la conexión Levi-Civita). En ese momento, creo que se comprendieron algunos otros hechos generales de la teoría de Chern-Weil en el caso del haz tangente con la conexión de Levi-Civita, por ejemplo que $H^\ast(B\mathrm{SO}(2n); \Bbb R) \cong I^\ast(\mathrm{SO}(2n))$ .

El siguiente paso de Chern fue cambiar el punto de vista para arreglar $M$ y variando el principal $G$ -bundle y elección de la conexión. A partir de esta idea se desarrolló la teoría de Chern-Weil.