Cómo demostrar que el polinomio $Y^2+X^2(X-1)^2$ es irreducible en a $\mathbb R[X,Y]$. He intentado mostrar que $\mathbb R[X,Y]$ modulo este ideal es una parte integral de dominio, pero no puedo encontrar ninguna homomorphism.
Respuesta
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Es útil pensar de este polinomio no como un elemento de $\mathbb{R}[X,Y]$, pero como un elemento de $A[Y]$ donde $A=\mathbb{R}[X]$. Es decir, consideramos que no es un polinomio sólo en $Y$, con polinomios en la $X$ como coeficientes. Ahora supongamos que tenemos una factorización de la $Y^2+X^2(X-1)^2=f(X,Y)g(X,Y)$. Entonces como polinomios en $Y$, los grados de $f$ $g$ debe agregar a $2$, y sus principales coeficientes debe multiplicar a $1$. Las únicas unidades en $A$ son constantes, por lo que podemos multiplicar $f$ $g$ por constantes a asumir que están tanto monic. Si bien $f$ o $g$ tiene el grado $0$, entonces es sólo $1$, por lo que tenemos el trivial de la factorización. La única otra posibilidad es que ambos tienen un grado $1$. Esto significa que tenemos $f(X,Y)=Y+f_0(X)$ $g(X,Y)=Y+g_0(X)$ algunos $f_0(X),g_0(X)\in A$. Así que debemos tener $$Y^2+X^2(X-1)^2=(Y+f_0(X))(Y+g_0(X))=Y^2+(f_0(X)+g_0(X))Y+f_0(X)g_0(X).$$
Por lo tanto $g_0(X)=-f_0(X)$$-f_0(X)^2=X^2(X-1)^2$. Pero no hay tal $f_0(X)$ existe (por ejemplo, el coeficiente inicial de la mano izquierda debe ser negativo, pero el líder del coeficiente del lado derecho es $1$).
