Puzzle sobre el triángulo.

Question

En la parte superior del triángulo cuatro figuras que tienen que ser reposicionado para formar el "triángulo" sin un cuadrado de la unidad.

¿Cómo explicar esto?

Gracias.

Answer 1

Los tres puntos a lo largo de lo que mira como la hipotenusa de un gran triángulo rectángulo no son en realidad colineales. Por tanto, como el "gran triángulo" no es realmente un triángulo rectángulo, la fórmula habitual del área no se aplica.

Nota: en el "triángulo" superior los tres puntos son $(0,0),(8,3),(13,5)$ De modo que si estuvieran en una línea, las pendientes 5/13 y 3/8 tendrían que coincidir. Pero no lo hacen.

AÑADIDO: En la figura superior, un diagrama cuidadoso muestra que la "hipotenusa" está hecha de dos segmentos que en realidad se doblan un poco hacia afuera, y la "hipotenusa" de la figura inferior también son dos segmentos que se doblan un poco hacia adentro. Esto explica la diferencia de áreas aparentes.

Answer 2

Obsérvese cómo la secuencia de Fibonacci proporciona una buena forma de generar más triángulos de este tipo, ya que para cuatro elementos consecutivos cualesquiera $S_n, S_{n+1}, S_{n+2},S_{n+3}$ que tenemos:

$S_n \cdot S_{n+3} = S_{n+1} \cdot S_{n+2} \pm 1$ (el signo se alterna para valores pares e Impares de n).

A continuación, haz que uno de los dos triángulos de la hipotenusa "no del todo" tenga las dimensiones (ancho x alto) $S_{n+2} \times S_n$ y el otro $S_{n+3} \times S_{n+1}$ . Entonces, en una de las formas de disposición, la vacante rectangular es $S_{n+2} \times S_{n+1}$ y en el otro es $S_{n+3} \times S_n$ por lo que falta exactamente un cuadrado del rectángulo amarillo/verde en una de las dos disposiciones.

Por ejemplo, para obtener un arreglo de "una talla menor", haga el triángulo azul $5 \times 2$ y el triángulo rojo $3 \times 1$ para dejar un $5 \times 1$ rectángulo en la mitad superior del diagrama original y un $3 \times 2$ rectángulo en la mitad inferior del diagrama. A continuación, utiliza la fila central de las piezas amarillas y verdes de la mitad superior del diagrama, es decir $2 \times 1$ y $3 \times 1$ .