Deje $T_n$ el conjunto de nodos en el nivel $n$ de un completo árbol binario de altura $\omega$: $T_0$ es sólo la raíz, por lo que ha $2^0=1$ nodo, $T_1$ $2^1$ nodos, y, en general, $T_n$ $2^n$ nodos. Si el árbol no está completa, los niveles pueden ser más pequeñas, pero el punto es que todos ellos son finitos. Su unión es el conjunto de todos los nodos del árbol, y la unión de countably muchos finito de conjuntos contables.
Ahora supongamos que cada nodo tiene countably infinitamente muchos niños. Etiqueta de la raíz del árbol con la secuencia vacía, $\langle\rangle$. La etiqueta de los nodos en el nivel $1$, los hijos de la raíz, con $1$-tuplas de números naturales: $\langle 0\rangle,\langle 1\rangle,\langle 2\rangle,\dots~$. Etiqueta a sus hijos con $2$-tuplas; por ejemplo, los tres primeros hijos de $\langle1\rangle$$\langle 1,0\rangle,\langle1,1\rangle$, e $\langle1,2\rangle$. En el nivel $4$ encontrarás los nodos con etiquetas como $\langle 3,0,5,3\rangle$: este nodo es el hijo de $\langle 3,0,5\rangle$, que es el hijo de $\langle 3,0\rangle$, el hijo de $\langle 3\rangle$, el hijo de $\langle\rangle$, el de la raíz. De esta manera se puede asignar a cada nodo en el árbol de una etiqueta única que es una secuencia finita de números naturales, y cada secuencia finita será conectado a un nodo del árbol. Por lo tanto, no se exactamente el número de nodos que hay etiquetas.
Sólo hay una etiqueta vacía, y hay obviamente $\aleph_0$ (countably infinitamente muchos) etiquetas en el nivel de $1$, uno para cada número natural. Las etiquetas de nivel de $n$ son sólo los elementos de las $\Bbb N^n$, y es un hecho básico de la infinita cardinalidades que $\Bbb N^n$ es countably infinito para cada uno de los $n\in\Bbb Z^+$. Por lo tanto, cada nivel del árbol ha countably muchos de los nodos, y la unión de countably muchos contable de conjuntos es todavía contables, por lo que este árbol también tiene sólo countably muchos nodos, no continuum-muchos.
