Por qué tiene el valor extremo de la función nunca se ha definido? –O lo tiene?

Question

Al igual que cuando x y y son arbitrarias de los números reales, que a menudo desee considerar la distancia, y el uso de la función de valor absoluto para hacerlo (es decir, por medio de la expresión |x – y|), así también cuando se trata con inherentemente positivo cantidades, tales como la edad, la masa, el tamaño, etc, que a menudo desee considerar la posibilidad de decir, el mayor de los dos coeficientes de x/y y y/x, pero parece que en el plan de estudios y la literatura no existe un estándar de función para hacer esto. Así, de forma análoga a "valor absoluto", voy a llamar a esta función, para los efectos de esta pregunta, los "valores extremos" de la función. Así que mi pregunta es: ¿por Qué no tiene el valor extremo de la función nunca se han definido? O, tal vez, y sólo he pasado por alto. Tal vez alguien, como John Kelley, ha enterrado a su definición en un problema que está destinado a extender la teoría en el texto (que Kelley hace mucho en su Topología General).

De todos modos, para el propósito de esta pregunta, voy a utilizar la notación $<x>$ del valor extremo de un número positivo x, y se define como la máxima de {x, 1/x}.

Un ejemplo de uso: Para que un equipo sea capaz de almacenar un número positivo x, que es necesario (pero no suficiente) la condición es que el $<x>$ ser "suficientemente pequeño". (Por supuesto, un "suficientemente pequeño" valor extremo nunca será inferior a la unidad.)

Observe que para valores positivos de x y de y, existe un buen paralelismo entre el valor absoluto y el valor extremo, a saber:

|x – y| = max{x, y} – min{x, y}

$<x/y>$ = max{x, y} / min{x, y}

También, como |x| puede ser expresado claramente por la fórmula de la raíz cuadrada de x al cuadrado, por lo que también se $<x>$ puede ser expresado claramente por la fórmula exp(|log(x)|).

Answer 1

Puede ser de interés señalar que esta forma de medir la distancia entre dos cantidades son esencialmente se muestra en el límite de la prueba de comparación en los cursos de análisis matemático (positivos de la serie y para las integrales impropias). Específicamente, si $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ son dos secuencias de números reales positivos tales que $0 < a \leq \max\{\frac{x_n}{y_n}, \frac{y_n}{x_n}\} \leq b < \infty$ para todos lo suficientemente grande $n$, $\sum x_n$ $\sum y_n$ ambas convergen o ambas divergen. Por supuesto, sin pérdida de generalidad para el anterior concepto, pero no para la cuantificado las versiones que se están preguntando acerca, podemos usar $b = \frac{1}{a}$. A veces uno dice (o tal vez sea sólo yo quien dice esto) que $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ tienen el mismo orden de magnitud como $n \rightarrow \infty$ o que $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ son asintóticamente igual a una constante como $n \rightarrow \infty$.

Esta noción de equivalencia también viene con bi-Lipschitz y funciones de Lipschitz equivalente métricas, y al menos en el caso de bi-Lipschitz funciones, la de "mejor" valor de la(s) $a$ y/o $b$ a menudo desempeñan un papel importante, pero no estoy al tanto de cualquier generalmente aceptados en nombre de este "mejor" valor que se podría utilizar para las situaciones en las que tú y yo hemos dado.