La prueba de $ f(x) = (e^x-1)/x = 1 \text{ as } x\to 0$ el uso de epsilon-delta definición de un límite

Question

Estoy en calc 1 y hemos aprendido la épsilon-delta definición de un límite y yo (por mi cuenta) quería probar y utilizar esta metodología con el fin de demostrar $(e^x-1)/x = 1$ (una de las equivalencias), a lo largo de con $\displaystyle \frac {\sin(x)}{x} = 1$, que la prueba solo nos dijo "fue así".

No sé cómo poner la poco feliz símbolos matemáticos en este sitio web, así que voy a subir una foto de mi trabajo. Ahora, puedo entender cómo aplicar el epsilon-delta definición del límite para algunos problemas fáciles, incluso para algunas funciones complejas donde los números, simplemente "caer", pero ¿qué hago con el la $|f(x)-L|<\epsilon$ después de que me he hecho de ser $|(e^x-1-x)/x| < \epsilon$?

Yo entiendo que básicamente necesita para obtener a $|(e^x-1-x)/x|$ a convertirse en el equivalente a $|x|$, pero ¿cómo puedo hacer esto? Es este factorable?

Y si este tipo de problema fácil es difícil para mí, ¿significa esto que tengo lo que se necesita para convertirse en un estudiante de matemáticas? Me encanta este tipo de problemas, pero a veces yo no entiendo la respuesta. Gracias!

http://tinypic.com/r/wiae6f/7

El de arriba es mi problema.

Answer 1

Otro enfoque, más difícil de manejar rigurosamente que alguno de los propuestos hasta el momento, es hacerlo de la forma de Euler hizo, fundamentalmente por la definición de $e$ $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$ (Pero entonces estaríamos en particular, desean demostrar que el límite existe, que no es fácil.)

Ahora imagina que $n$ es grande, y vamos a $h=1/n$. A continuación, $e^h$ debe ser de alrededor de $1+1/n$, y el resto de la siguiente manera. Pero los detalles, tales como hacer precisa la comadreja "debe ser de alrededor de $1+1/n$," no son fáciles. En particular, habría que definir con precisión el general de la función exponencial.

Así que a menos que rellenar un montón de detalles, la idea consiste bastante vigorosa mano que se agita, diametralmente opuesta a la epsilon-delta enfoque. Sin embargo, la idea ha útiles intuitiva contenido.

Answer 2

Supongamos que de alguna manera, sabemos que la derivada de $e^x$ es en sí mismo, que es $\frac{d}{dx}e^x=e^x$. (Esto podría seguir a partir de la energía de la serie de definición)

Entonces, tenemos que en la definición de la derivada $$e^x=\lim_{h=\rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}$$ and after dividing by $e^x$ we get $$\lim_{h=\rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1.$$

De nuevo, es realmente depende de la definición que están empezando.

Answer 3

Se puede usar $e^x = 1 + x + x^2/2! + \cdots$? Si es así, a continuación, mostrar que $1+x \leq e^x \leq 1 + x + x^2$ todos los $x$ en un barrio de $0$.

EDITAR (elaboración): Suponiendo que la definición de $e^x = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^n }}{{n!}}}$, usted puede mostrar que $$ 1+x \leq e^x \leq 1 + x + x^2 $$ tiene para todos los $x$ en algunos $\delta$-barrio de $0$, muy simplemente de la siguiente manera. Por un lado, $$ e^x -1 - x = x^2\bigg(\frac{1}{{2!}} + \frac{x}{{3!}} + \frac{{x^2 }}{{4!}} + \cdots \bigg), $$ a partir de la cual la primera desigualdad es inmediatamente considera que tienen; por otro lado, $$ e^x -1 - x - x^2 = -x^2 \bigg(\frac{1}{{2!}} - \frac{x}{{3!}} - \frac{{x^2 }}{{4!}} - \cdots \bigg), $$ a partir de la cual la segunda desigualdad es visto inmediatamente a la bodega. De hecho, tenga en cuenta que para cualquier $r > 0$ (tan pequeño como se desee), se tiene $$ \sup _{|x| \le r} \Big(\Big|\frac{x}{{3!}}\Grande| + \Big|\frac{{x^2 }}{{4!}}\Grande| + \cdots \Big) = \frac{r}{{3!}} + \frac{{r^2 }}{{4!}} + \cdots \le r + r^2 + \cdots = \frac{r}{{1 - r}}. $$

Answer 4

Sugiero cambiar el límite de $x$ tiende a cero a alguna función de $x$ tiende a infinito a través de un matemáticamente la manipulación. Por ejemplo, si utilizamos $1/h = e^x-1$$e^x = 1+1/h$.

Recordando que queremos encontrar a $\lim_{x\to 0} (e^x-1)/x$. Si ahora usamos para ayudar con nuestra manipulación $\ln (e^x)= \ln(1+ 1/h)$

ahora como $x$ tiende a cero $h$ tiende a infinito como es, esencialmente, tiene un efecto inverso

ahora sustituyendo en nuestra límite original obtenemos

$\lim_{h\to \infty}{1/h/\ln(1+1/h)} = 1/\ln(1+1/h)^h)$ y dado que, por definición, $(1+1/h)^h = e then taking logs of both sides \ln(e) = 1$

por lo tanto, $\lim_{h\to \infty}(1/1)$ es simplemente uno, por lo tanto, $\lim_{x\to0} (e^x-1)/x$ también debe ser uno. QED

Yo no soy un genio de las matemáticas y esto no puede soportar matemática rigurosa prueba, pero esperemos que se trata de un paso en la dirección correcta Saludos

Answer 5

Cuando me enseñan estos temas, me tenga en cuenta que $(2^x-1)/x$ parece ser de alrededor de $0.7$ para valores pequeños de a $x$, mientras que $(3^x-1)/x$ parece ser de alrededor de $1.1$ para valores pequeños de a $x$, por lo que es lógico que hay algún número entre el$2$$3$, vamos a llamar a $e$, de tal manera que $(e^x-1)/x$ tiende a $1$$x\to0$. No muy riguroso, lo sé, y no deltas y epsilons, pero como otros han mencionado usted tiene que comenzar con $\it some$ definición de $e$ a incluso hacer la pregunta.