Una más débil del Axioma de Infinitud?

Question

Como yo lo entiendo, el Axioma de Infinitud en ZFC teoría nos da un conjunto infinito de que los números naturales se pueden extraer. (Consulte "Axioma del Infinito" en http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity)

Podría la siguiente propuesta de axioma ser una versión más débil (el uso cotidiano de la notación funcional)?

$\exists X,S,x_0( S:X\to X\land \forall a,b\in X(S(a)=S(b)\to a=b) \land x_0\in X \land \forall a\in X(S(a)\ne x_0 ))$

En palabras, no existe $X,S$ $x_0$ tal que $S$ es una función inyectiva de a $X$, e $x_0\in X$, e $x_0$ no tiene pre-imagen en $X$ bajo $S$.

Nota: se puede demostrar que $X$ es Dedekind-infinito, y que es posible extraer los números naturales (como se define por los Axiomas de Peano) de $X$ donde $S$ es la habitual función sucesor y $x_0$ $0$ (o $1$).

Answer 1

Su axioma es en realidad equivalente al Axioma de Infinitud modulo ZFC-{Infinito}. Esto es muy fácil ver a través de la sustitución axioma, pero sigue aun solo utilizando Extensionality, los Pares, los Sindicatos, la Especificación y Poderes: puede probar una versión del teorema de recursión, a partir de la cual se puede extraer el conjunto habitual $\omega$ de von Neumann números.