¿$\mathrm{PA}^-$ Prueba todas las sentencias literales verdaderos de la aritmética básica?

Question

Por dejar que "las frases literales de la aritmética básica" nos quiere decir frases como

$$3+4=7,\;\; 2\cdot 3 = 3\cdot 2, \;\;S(2)=3$$

donde por ejemplo $3$ es una abreviación para $S(S(S(0)).$

Tenga en cuenta que algunas frases literales de la aritmética básica son verdaderas (por ejemplo, $3+4=7$) mientras que otros son falsos (por ejemplo, $2\cdot 3 = 1$).

Ahora que $\mathrm{PA}^-$ denotan la aritmética de Peano sin inducción. ¿$\mathrm{PA}^-$ Prueba todas las sentencias literales verdadero de básico aritmética?

Answer 1

Esta teoría se llama Robinson aritmética y la respuesta es sí, suponiendo que la media de las frases sin cuantificadores o variables. Hay algunos muy simple cuantificado frases que no puede ser probado, tales como la conmutatividad de la suma ($\forall x, y: x + y = y + x$), aunque cualquier instancia de que como $3 + 5 = 5 + 3$ puede ser.