Es $t^{- \frac {1}{2}}B_{t^2}$ una moción browniana?

Question

Creo que el título lo dice todo. Deje que $X_t = t^{- \frac {1}{2}}B_{t^2}$ con $B_t$ siendo un movimiento browniano iniciado en $0$ .

Creo que he demostrado continuidad en $0$ haciendo lo siguiente: $$ X_t = t^{- \frac {1}{2}}B_{t^2} \stackrel {law}{=} t^{ \frac {1}{2}}B_1 $$

Así que ahora si $t = 0$ entonces $X_0 = 0$ . Sin embargo, no estoy obteniendo los resultados deseados al probar Estabilidad de los incrementos : \begin {alineado*} Var(X_t - X_s) &= \mathbb E \left (X_t - X_s \right )^2 \\ &= \mathbb EX_t^2 + \mathbb EX_s^2-2 \mathbb EX_tX_s \\ &= t + s -2t^{-1/2}s^{-1/2}min(s^2,t^2) \\ & \ne t-s \\ \end {alineado*}

De manera similar para el independencia de los incrementos . Supongo que debo estar haciendo algo mal porque por el teorema de caracterización de Levy, la variación cuadrática de $X_t$ es $<X,X>_t = t$ así que esto debería ser un movimiento browniano. ¿Puede alguien señalar dónde puede estar el problema?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Podemos utilizar la siguiente caracterización:

El proceso estocástico $(X_t)$ es un movimiento Browniano si y sólo si:

• $(X_t)$ es casi seguro que es continuo;
• $(X_t)$ es un proceso Gaussiano con una función media $0$ y la función de covarianza $ \Gamma (s,t)=s \wedge t$ .

El proceso $(X_t)$ sigue siendo claramente un proceso Gaussiano (si definimos que es $0$ en $t=0$ ), y su significado es $0$ . La función de covarianza está dada por $$ \Gamma (s,t)= \mathbb E \left [X_tX_s \right ]=(st)^{-1/2}t^2 \wedge s^2 \neq s \wedge t, $$ y por lo tanto $(X_t)$ no es un movimiento Browniano.

Como mencionó Did en los comentarios, su prueba de continuidad no funciona. Su error es que la igualdad $B_t \stackrel {law}{=} \sqrt tB_1$ se mantiene por un fijo $t$ y no para el conjunto de los procesos estocásticos (e incluso si el resultado se mantuviera como una igualdad en la distribución de los procesos estocásticos, el resultado aún no seguiría).

Para mostrar que el proceso es continuo en $0$ puede usar la ley del logaritmo iterado. Primero, note que $(t^{-1/2}B_{t^2})_{t \ge0 }$ tiene las mismas propiedades de camino que $(t^{3/2}B_{1/t^2})_{t \ge0 }$ desde $(tB_{1/t})$ es un movimiento Browniano. Además, $$ 0 \le\limsup_ {t \rightarrow0 }t^{3/2} \left |B_{1/t^2} \right |= \limsup_ {t \rightarrow0 } \sqrt {2t \log\log t^{-2}} \frac { \left |B_{1/t^2} \right |}{ \sqrt {2t^{-2} \log\log t^{-2}}}=0, $$ casi seguro. Por lo tanto, $(X_t)$ es continua en $t=0$ si se define $X_0=0$ .

También debo mencionar que la observación de que $(X_t)$ no es una martingala es también suficiente para probar que no es un movimiento Browniano.