El cálculo de la probabilidad de éxito del algoritmo de

Question

No es super seguro de que este es el derecho *de intercambio para esta pregunta, pero aquí vamos.

Digamos que yo estoy escribiendo un juego, y en este juego el jugador puede atacar a otra unidad. La probabilidad de acertar es una "oposición rollo" que se ve algo como esto:

Un ataque tierras si:

(attack * random() + attack * random())
is greater than or equal to
(defense * random() + defense * random())

Donde el ataque y la defensa son ambos números > 0 y aleatorio() devuelve un (pseudo) número aleatorio entre 0 y 1 (no incluida 1). La razón por la que parece que hace es asegurarse de que hay un sesgo hacia el "valor promedio" (o más bien, hacia el doble del valor medio, pero realmente no importa).

¿Cómo uno va sobre el cálculo de la "probabilidad de golpe" para este algoritmo (en el fin de mostrar al usuario)?

Gracias!

Answer 1

El ataque es exitoso iff $$Ax_1+Ax_2\ge Dy_1+Dy_2\iff A(x_1+x_2)\ge D(y_1+y_2)\iff x\ge \frac{D}{A}y,$$ donde $x_1,x_2,y_1,y_2$ son realizaciones de la $U[0,1]$ variables aleatorias y $x,y$ son las respectivas sumas. Ahora, usando la densidad de las sumas de dos $U[0,1]$ variables aleatorias (ver el comentario anterior), considere el caso de $2\ge D/A\ge 1$: $$\operatorname{Pr}\left(x\ge \frac{D}{A}y\right)=\int_{D/Ay}^1 \int_0^{\underline{y}} xy \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y+\int_1^2 \int_0^{\underline{y}} (2-x)y \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y+\int_{D/Ay}^2 \int_{\underline{y}}^1 (2-x)y \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y+\int_{D/Ay}^2\int_1^{\overline{y}}(2-y)(2-x) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,$$ donde $\underline{y}$ $y$ tal que el mínimo de $x$ vencer esta $y$ es igual a $1$. Es decir, $x=1=D/Ay\iff y=A/D\le 1$. Del mismo modo, $\overline{y}$ $y$ tal que el mínimo de $x$ superando a $y$ es igual a $2$. Por lo tanto, $x=2=D/Ay\iff y=2A/D\le 2$. Las integrales representan todos los casos en que el ataque es exitoso, y necesitamos distinguir los intervalos de $[0,1]$$[1,2]$, debido a que las sumas $x,y$ tienen diferentes densidades en estos intervalos. Sólo hemos considerado el caso de $2\ge D/A\ge 1$, debido a que para cualquier otro caso, la integral de las fronteras o de los casos va a cambiar un poco.

La resolución de las integrales explícitamente (aún no se evalúa), obtenemos $$[\tfrac14x^2y^2]+[xy^2-\tfrac14x^2y^2]+[xy^2-\tfrac14x^2y^2]+[4yx-x^2y-y^2x+\tfrac14x^2y^2]$$ Ahora uno sólo tiene que enchufar en el $x$ integral de las fronteras de cada uno de los 4 términos, entonces el $y$ fronteras, y la simplificación dará el resultado. Este es un muy tedioso cálculo, tal vez se puede hacer rápidamente en algunos de matemática simbólica de la herramienta.