Dualidad 2-functor en adjuntos

Question

Esta pregunta se refiere a la definición del 2-funtor de dualidad en el libro de Hovey sobre las categorías del modelo, sección 1.4.

Allí define la categoría 2 de categorías con adjuntos como sigue:

• los objetos son categorías
• Los 1-morfismos son adjuntos $(F,U,\varphi)$ , donde $F$ es el adjunto izquierdo de $U$ y $\varphi:\operatorname{Hom}(F-,*)\to \operatorname{Hom}(-,U*)$ .
• Los 2-morfismos son transformaciones naturales $F\to F'$ .

A continuación, define el 2-funtor de dualidad como $D(\mathcal{C})=\mathcal{C}^{op}$ en los objetos, $D(F,U,\varphi)=(U,F,\varphi^{-1})$ en 1-morfismos y para $\sigma:F\to F'$ define $D(\sigma)=U\varepsilon'\circ U\sigma\circ \eta:(U,F,\varphi)\Rightarrow (U',F',\varphi')$ .

El reclamo ahora es que $D^2=\operatorname{Id}$ .

En los objetos y en los 1-morfismos esto es obvio. En el caso de los 2-morfismos no veo por qué se deduce. Según mis cálculos, creo que esto debería ser la igualdad:

$$\varepsilon\circ F(U\varepsilon'\circ U\sigma\circ \eta)\circ F\eta'=\sigma$$

lo cual no parece que se sostenga. Probablemente he mezclado alguna dirección de las flechas, pero no sé cuál.

Answer 1

La definición de $D(\sigma)$ es no es correcto pero casi, podría ser una errata en el libro:

Digamos que tenemos $\mathcal A\overset{F,F'}\to\mathcal B$ entonces la transformación natural $U\sigma\circ\eta$ va $1_{\mathcal A}\to UF\to UF'$ mientras que el dominio de $U\varepsilon'$ es $UF'U'$ . Así que nos falta un $U'$ aquí, por sintaxis, y la versión correcta sería $$D(\sigma)\ :=\ U\varepsilon'\circ U\sigma U'\circ \eta U'\,,$$

Ahora, este $D(\sigma)$ va $U'\Rightarrow U\ $ en la categoría de funtores $Fun(\mathcal B, \mathcal A)$ pero si invertimos las flechas en $\mathcal A$ obtenemos la dirección opuesta (para exactamente los mismos mapeos $U,U'$ ):
$\quad D(\sigma):U\Rightarrow U'$ en $Fun(\mathcal B^{op},\mathcal A^{op})$ , $\ $ exactamente en la dirección deseada.

Por último, tendremos $$D^2(\sigma)=\varepsilon F'\circ\ F\,D(\sigma)\,F' \circ F\eta'\,.$$

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Personalmente prefiero trabajar con doblemente categórico notación, es decir, organizar las 2 celdas en cuadrados . Por ejemplo, la unidad de la adjunción $\eta$ se puede dibujar como

$\ \ \ \, \overset{1_{\mathcal A}}\longrightarrow$
$F\! \downarrow \,\eta\,\downarrow \!\! 1_{\mathcal A} \quad\quad$ leer en dirección $\ \swarrow$
$\ \ \ \, \underset{U}\longrightarrow$

Entonces, $D(\sigma)$ serán sólo tres casillas ( $\varepsilon',\ \sigma$ y $\eta$ ) pegados.

En definitiva, $D^2(\sigma)$ será el compuesto de los siguientes cuadrados:

$\def\-{-\!\!-\!\!-} \ \ \ \ \-$
$ \ \ \ \ \vert\ \ \eta' \ \vert$
$ \ \ \ \ \- \, \- \, \- $
$ \ \ \ \ \vert\ \ \varepsilon'\ \ \vert\ \ \ \sigma\ \ \vert\ \ \ \eta\ \ \vert$
$ \ \ \ \ \- \, \- \, \- $
$\hspace{4.2pc}\vert\ \ \ \varepsilon\ \ \vert$
$\hspace{4.4pc}\-$

que efectivamente devuelve $\sigma$ como era de esperar, por las propiedades de adjunción.

(Lo único que hay que comprobar es que las composiciones horizontales y verticales de cuadrados de 2x2 conmutan entre sí en este contexto, y luego ampliar la imagen con cuadrados de identidad).

Answer 2

El siguiente cálculo muestra la afirmación utilizando sólo la composición vertical de morfismos (la horizontal sólo implícitamente): $$\begin{align*} (D^2\sigma)_X&=\varepsilon_{F'X}\circ F(D(\sigma)_{F'X})\circ F\eta'_X &\text{by definition}\\ &=\varepsilon_{F'X}\circ F(U\varepsilon'_{F'X}\circ U\sigma_{U'F'X}\circ \eta_{U'F'X})\circ F\eta'_X&\text{by definition}\\ &=(\varepsilon_{F'X}\circ FU\varepsilon'_{F'X})\circ FU\sigma_{U'F'X}\circ F\eta_{U'F'X}\circ F\eta'_X&\text{because $F$ is a functor}\\ &=\varepsilon'_{F'X}\circ (\varepsilon_{F'U'F'X}\circ FU\sigma_{U'F'X})\circ F\eta_{U'F'X}\circ F\eta'_X&\text{by naturality of $\varepsilon$}\\ &=\varepsilon'_{F'X}\circ (\sigma_{U'F'X}\circ \underbrace{\varepsilon_{FU'F'X})\circ F\eta_{U'F'X}}_{=1_{U'F'X}}\circ F\eta'_X&\text{by naturality of $\varepsilon$}\\ &=\underbrace{\varepsilon'_{F'X}\circ F'\eta'_X}_{=1_{F'X}}\circ \sigma_X&\text{by naturality of $\sigma$}\\ &=\sigma_X \end{align*}$$