Derivado de la pregunta

Question

Necesito encontrar la derivada de:

$$ h(x) = \int_{0}^{x^2} (1-t^2)^{1/3} \, dt $$

Sería la respuesta a la que acaba de ser:

$$ (1-x^4)^{1/3}? $$

Answer 1

Deje $v = x^2$ $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v} \int_0^{v} f(t) \mathrm{d}t = f(v)$$ so $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v} \int_0^{v} f(t) \mathrm{d}t = 2x f(x^2).$$

Answer 2

Si $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\;\mathrm{d}t$,$F^{\prime }(x)=f(x)$. Por el regla de la cadena si $F(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\;\mathrm{d}t$, luego

$$F^{\prime }(x)=F^{\prime }(u)u^{\prime }(x)=f(u(x))u^{\prime }(x).$$

En el presente caso $F(x)=h(x)$, $u(x)=x^{2}$ y $f(t)=(1-t^{2})^{1/3}$. Por lo tanto $u^{\prime }(x)=2x$$f(u(x))=f(x^{2})=(1-x^{4})^{1/3}$.

Así

$$h^{\prime }(x)=2(1-x^{4})^{1/3}x.$$

Una generalización es encontrar la derivada de una integral donde ambos límites son funciones de la $x$, como en esta pregunta.