El comportamiento de la raíz Enésima de N?

Question

Tomar la N-ésima raíz de algún número real $N$ (es decir: $R(N) = N^{1/N}$), en general, $R(X) > R(Y)$ al $X < Y$. Este obviamente no es el caso, aunque al $ X< Y < 3$. Dicho de otra manera, a partir de a $N = 0.1$ y el aumento de la $N$ $0.1$ si graficamos cada R(N) vemos que el resultado aumenta y se dispara justo antes de que llegue a $3$ y luego disminuye. ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre este comportamiento?

Answer 1

Escribir $x^{1/x} = \exp (\frac1x \log x)$. Dado que la función exponencial es monótona (creciente), es suficiente con mirar el comportamiento de $f(x) = \frac1x \log x$. Su derivada es

$$f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$$

y eso es positivo para $\log x < 1 \iff x < e$, y negativo para $x > e$, de ahí que haya una (única) máxima en $x = e$, y por lo tanto $x^{1/x}$ también tiene un (único) máxima en $x = e$.

Answer 2

El pico es de a $e$. $$x^{1/x}=\exp(\frac1x\ln x)$$ es máxima cuando $\frac1x\ln x$ es máxima. La derivada de esto es $-x^{-2}\ln x + x^{-2}$ y se convierte en cero al $\ln x=1$.

Answer 3

Deje $y=x^{1/x}$$x>0$. A continuación,$\ln y=\frac{\ln x}x$. Ahora se diferencian con respecto a $x$:

$$\frac{y'}y=\frac{1-\ln x}{x^2}\;,$$

así

$$y'=\frac{x^{1/x}}{x^2}(1-\ln x)\;.$$

Esto es $0$ precisamente al $\ln x=1$, es decir, cuando se $x=e\approx2.718$. Por otra parte, $\frac{x^{1/x}}{x^2}>0$, e $\ln x$ es una función creciente de $x$, lo $y'>0$$0<x<e$$y'<0$$e<x$, y por lo tanto $y=x^{1/x}$ alcanza su máximo en $x=e$.