Citando Bertsekas' Introducción a la Probabilidad:
Un proceso de llegada es llamado un proceso de Poisson con tasa de $\lambda$ si tiene las siguientes propiedades:
a) Tiempo homogeinidad - la probabilidad de $P(k,\tau)$ $k$ llegadas de el mismo para todos los intervalos de la misma longitud $\tau$
b) El número de llegadas durante un determinado intervalo es independiente de la historia de las llegadas fuera de este intervalo.
c) Pequeño intervalo de probabilidades de Las probabilidades de $P(k,\tau)$ satisfacer:
$P(0,\tau)=1-\lambda\tau + o(\tau)$
$P(1,\tau)=\lambda\tau + o_1(\tau)$
$P(k,\tau)=o_k(\tau)$ $k=2,3,...$
Aquí, $o(\tau)$ $o_k(\tau)$ son funciones de la $\tau$ que satisfacer
$\mathbb{lim}_{r\to0}\frac{o(\tau)}{\tau}=0$, $\mathbb{lim}_{r\to0}\frac{o_k(\tau)}{\tau}=0$
Entonces se nos da la fórmula:
$$P(k,\tau)=e^{-\lambda\tau}\frac{(\lambda\tau)^k}{k!}$$
Tenga en cuenta que una expansión en series de Taylor de $e^{-\lambda\tau}$ rendimientos:
$P(0,\tau)=e^{-\lambda\tau}=1-\lambda\tau+o(\tau)$
$P(1,\tau)=\lambda\tau e^{-\lambda\tau}=\lambda\tau\lambda^2\tau^2+O(\tau^3)=\lambda\tau+o_1(\tau)$.
Primero de todo, ¿qué son $o(\tau)$, $o_1(\tau)$ y $O(\tau)$ en la expansión de Taylor? Tiene nada que ver con la expansión de Taylor de por sí? Pensé que $o$ es el poco o notación, pero su definición es bastante diferente - $ f(n) = o(g(n))$ si $g(n)$ crece mucho más rápido que $f(n)$. En este caso, es muy diferente. Entonces, ¿qué es?
En segundo lugar, el autor no es prueba de que el $o$ términos anteriores satisfacer
$\mathbb{lim}_{r\to0}\frac{o(\tau)}{\tau}=0$, $\mathbb{lim}_{r\to0}\frac{o_k(\tau)}{\tau}=0$
como se indicó en la definición de proceso de Poisson. ¿Cómo podemos demostrarlo?
Lo que es más importante - ¿por qué queremos que se satisfacen las propiedades que se describen en 'c) Pequeño intervalo de probabilidades"? Estos 3 fórmulas no son arbitrarias, tiene que haber una buena razón para ellos.
Idealmente, si dejamos $\lambda \to 0$ y es natural esperar que la probabilidad de $P(k,\tau)$ a igual exactamente $0$ en el límite, pero al parecer no es posible (siempre habrá ese pequeño número, $o_k(\tau)$). O igual $0$ en el límite?
