la convergencia de infimum

Question

Tengo una pregunta que me he encontrado durante mi pasantía:

Considere la posibilidad de una secuencia convergente de continuo, de las funciones convexas $\{f_n(x)\}_n$ definido en $\mathbb{R}^M$. Estas funciones son uniformemente de Lipschitz continua, es decir, $\exists C\in\mathbb{R}$ tal forma que:

$$\forall x,y \in \mathbb{R^M},\forall n\ge1\quad |f_n(x)-f_n(y)|\le C|x-y|.$$

Además, cada función de $f_n(x)$ tiene un minimizer. Las propiedades de la simple convergencia uniforme y de Lipschitz de continuidad nos permiten demostrar que la convergencia es uniforme en cualquier compacto de $\Bbb R^M$.

Mi pregunta es:

Podemos demostrar que $\inf_{\Bbb R^M}f_n(x)$ converge a$\inf_{\Bbb R^M}f_{\infty}(x)$$n\rightarrow\infty$, donde $f_{\infty}(x)$ es el límite de $f_n(x)$, y se supone que $\inf_{\mathbb{R^M}}f(x)$ es finito?

Muchas gracias!

Answer 1

No. Tomar la secuencia $$ f_n : x\in \mathbb R \a \frac 1 n \lvert x - n \rvert -1 \in \mathbb R $$ Tenemos $$ \lim_n f_n(x) = 0 \quad\forall x\in \mathbb R\\ \inf_{\mathbb R} f_n(x) = f_n(n) = -1\\ \lvert f_n(x) - f_n(y) \rvert = \frac 1 n \big\lvert \lvert x - n \rvert - \lvert y - n\rvert \big\rvert \leq \frac 1 n \lvert x - y\rvert \leq \lvert x-y \rvert $$ las funciones de $f_n$ convergen puntualmente a $f_\infty = 0$, son convexas y uniforme de Lipschitz continua, sino que $$ \lim_n \left(\inf_{\mathbb R} f_n(x) \right) = -1 \neq \inf_{\mathbb R} f_\infty(x) = 0 $$