Encontrar a max y min de $F=ax^2+2bxy+cy^2$ al $x^2+y^2=1$

Question

Encontrar el Máximo y el Mínimo de $$F=ax^2+2bxy+cy^2$$ when $$x^2+y^2=1$$ Las variables a,b, y c son sólo números reales.

He intentado el uso de diferenciación parcial con el fin de resolver para el dado de máximos y mínimos, pero me pareció que el álgebra se utiliza para resolver para las variables tan complicado como el uso básico de sustitución. Hay un mejor método para acercarse a este? Cualquier consejo es útil.

Answer 1

Deje $A=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}$, e $z=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$, entonces usted tiene:

$$F=ax^2+2bxy+cy^2=z^TAz$$

$$x^2+y^2=1=z^Tz$$

Así que usted puede resolver este problema en su lugar:

$$\max~~~z^TAz ~~\text{subject to}~z^Tz=1 \tag{1}$$

y

$$\min~~~z^TAz ~~\text{subject to}~z^Tz=1\tag{2}$$

Para (1), el valor de $\max$ es igual a la del mayor autovalor de a $A$, e $z=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ es el correspondiente vector propio, y para (2), de manera similar, el valor de $\min$ es igual al menor (segundo) autovalor de a $A$, y el correspondiente vector propio es la solución para $z=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$.

Por lo tanto, la única cosa que usted necesita hacer, es la formación de la matriz $A=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}$, y el cálculo de sus valores propios y vectores propios.