Encuentra el valor.

Question

Encontrar el valor de $$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\qquad\text{ if }\quad \frac ab + \frac bc + \frac ca = 1.$$

He intentado utilizar la desigualdad de Cauchy pero era de ninguna ayuda. Por favor me guía.

$a, b, c$ son reales.

Answer 1

No hay suficiente información para resolver este problema. La limpieza de denominadores, su hipótesis es $$a^2 c + a b^2 + b c^2 = abc \quad (1)$$ y su conclusión deseada es $$a^3+b^3+c^3=kabc \quad (2)$$ para algunas constantes $k$.

Supongamos, por el bien de la contradicción, hubo un $k$ tal que $(1)$ implícitas $(2)$. Desde el polinomio $a^3+b^3+c^3-abc$ es irreducible, esto significaría que $a^2 c+a b^2+b c^2-abc$ brecha $a^3+b^3+c^3-kabc$. Pero los dos polinomios son tanto cúbicas, por lo que el único camino para la primera dividir el segundo es el primero es un escalar múltiples de la segunda, y no lo es.

También es fácil para generar puntos en $(1)$ y ver que la relación de $(a^3+b^3+c^3)/(abc)$ no es constante. Sólo elige al azar los valores de $a$ $b$ y la ecuación de $(1)$ se convierte en una ecuación cuadrática; problemas que cuadrática da algunos de los puntos a tratar. Usted verá rápidamente que nada de esto es cierto.

Answer 2

Vamos

$$\begin{eqnarray} u&=&a+b+c\\ v&=&a^3+b^3+c^3\\ s&=&a^2b + b^2 c + c^2 a\\ t &=& a \, b\, c \end{eqnarray}$$

Estos están relacionados por $$u^3 = v + 3 s + t $$

Además, se nos da

$$ \frac ab + \frac bc + \frac ca = \frac st =1$$

por lo $$u^3 = v + 4 t$$

Y nuestro objetivo es

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac vt = \frac{u^3}{t}-4$$

Esto no puede ser un valor único, ya que tenemos un grado de libertad.

Answer 3

Tome $a=1$$b=-\epsilon$. Entonces $c=O(1/\epsilon)$ ($\epsilon\rightarrow 0$). Tomando $\epsilon$ convenientemente pequeño, podemos hacer que la expresión se evalúa, de la orden de $1/\epsilon^3$, grandes o mucho más grande.