Mostrar que $\frac 1 {\sqrt{x+y}}+\frac 1 {\sqrt{y+z}}+\frac 1 {\sqrt{z+x}}\geq2+\frac 1 {\sqrt2}$.

Question

Dado $x,y,z\geq0$$xy+yz+zx=1$. Mostrar que $\displaystyle\frac 1 {\sqrt{x+y}}+\frac 1 {\sqrt{y+z}}+\frac 1 {\sqrt{z+x}}\geq2+\frac 1 {\sqrt2}$.

He intentado muchas cosas pero todos fallaron. Lo único que sé es que la igualdad tiene al $x=y=1, z=0$.

Por favor, ayudar. Gracias.

Answer 1

$z=\dfrac{1-xy}{x+y} \ge 0 \to xy\le 1$

LHS$=\sqrt{\dfrac{1}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{1+x^2}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{1+y^2}}=f(x,y)$

$f'_{x}=\dfrac{1-x^2-2xy}{(x^2+1) \sqrt{x^2+1} \sqrt{x+y}}+\dfrac{1}{\sqrt{(x+y)(y^2+1)}}-\dfrac{1}{(x+y)\sqrt{x+y}}=0$......<1>

$f'_{y}=\dfrac{1-y^2-2xy}{(y^2+1) \sqrt{y^2+1} \sqrt{x+y}}+\dfrac{1}{\sqrt{(x+y)(x^2+1)}}-\dfrac{1}{(x+y)\sqrt{x+y}}=0$......<2>

<1>$*(1+y^2)$-<2>$*(1+x^2)$:

$(y^2-x^2)\left(2(x+y)(1-xy)+\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{\sqrt{1+x^2}{1+y^2}}\right)=0$

así que tenemos $x=y$ solamente. poner en <1>, se obtiene: $4x-4x^3=(x^2+1)^{\frac{3}{2}}$,es decir:

$15x^6-35x^4+13x^2-1=0 \to (3x^2-1)(5x^4-10x^2+1)=0$, se obtienen dos raíces:

$x_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, x_2=\sqrt{1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$

$f(x_1)=2.79,f(x_2)=2.77$,pero tomamos nota de $f(x,y)$ al $x ,y \to \infty, f(x,y) \to 0$,por lo que tenemos que comprobar el límite, lo cual es $xy=1$.

$f(x,y)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x}+x}}$

deje $m=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} \ge2$

$f(m)=m+\dfrac{1}{\sqrt{m^2-2}}$, cuando $m\ge 2$, $f(m)$ es mono el aumento, por lo que el mínimo se obtiene cuando $m=2 \to x=y=1, f(1)=2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}< 2.77$, por lo que el mínimo es de $2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Para demostrar $f(m)=m+\dfrac{1}{\sqrt{m^2-2}}$ es mono función creciente,

$f'(m)=1-\dfrac{m}{(m^2-2)^{3/2}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{m^2-2}\left(m-\dfrac{2}{m}\right)}>0$ al $m\ge 2$.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, suponemos que $x\ge y\ge z$.

Lema 1: $$\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^2+1}}\ge 1+\dfrac{1}{\sqrt{(y+z)^2+1}}$$

Prueba: esta desigualdad es equivalente a $$\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{2}{\sqrt{(y^2+1)(z^2+1)}}\ge 1+\dfrac{1}{(y+z)^2+1}+\dfrac{2}{\sqrt{(y+z)^2+1}}.$$ Observe que $$(y+z)^2+1-(y^2+1)(z^2+1)=yz(2-yz)\ge 0,$$ por lo tanto $$\dfrac{2}{\sqrt{(y^2+1)(z^2+1)}}\ge\dfrac{2}{\sqrt{(y+z)^2+1}}.$$ Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\ge1+\dfrac{1}{(y+z)^2+1}.$$ Y esto es equivalente a $$\dfrac{yz[2-2yz-yz(y+z)^2]}{(y^2+1)(z^2+1)[(y+z)^2+1]}\ge 0.$$ De arriba es cierto, porque $$2-2yz-yz(y+z)^2=2x(y+z)-yz(y+z)^2=(y+z)[2x-yz(y+z)]\ge (y+z)[2x-x^2(y+z)]=x(y+z)(2-xy-xz)\ge 0.$$

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Lema 2: $$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{\sqrt{x+z}}\ge\sqrt{y+z}+\sqrt{\dfrac{y+z}{(y+z)^2+1}}.$$

Prueba: \begin{align}\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{\sqrt{x+z}}&=\sqrt{y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{(y+z)(x+y)}}+\dfrac{1}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\right)\\ &=\sqrt{y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}\right) \end{align} y aplicar el Lema 1, a continuación, listo!

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Por lo tanto la desigualdad original es equivalente a $$\dfrac{1}{\sqrt{y+z}}+\sqrt{y+z}+\sqrt{\dfrac{y+z}{(y+z)^2+1}}\ge 2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$$

Dejando $$t=\dfrac{1}{\sqrt{y+z}}+\sqrt{y+z}\ge 2,$$ la desigualdad se convierte en $$t+\dfrac{1}{\sqrt{t^2-2}}\ge 2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$$

Esto puede ser demostrado por el siguiente: \begin{align} &t+\dfrac{1}{\sqrt{t^2-2}}-2-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ =&t+\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{t^2-2}}-2-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \ge& t+\dfrac{2\sqrt{2}}{2+t^2-2}-2-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ =&t+\dfrac{2\sqrt{2}}{t^2}-2-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ =&\dfrac{(t-2)(\sqrt{2}t^2-t-2)}{\sqrt{2}t^2}\ge 0. \end{align}