¿Las unidades en $\mathbb{Z} [(1+\sqrt{d})/2] $ tienen norma $\pm1$ ?

Question

¿Las unidades en $\mathbb{Z} [(1+\sqrt{d})/2] $ tienen norma $\pm1$ ? Según entendí la norma de unidades de anillos enteros de $\mathbb{Q} (\sqrt{d} ) $ tienen norma $\pm 1$ y al mismo tiempo $N( \frac{a + b \sqrt{d}}{2} ) = \frac{1}{4} (a^2 - d b^2)$ en mi entendimiento. ¿Es eso cierto?

Answer 1

Para cada campo numérico $K$ las unidades del anillo de enteros $\mathcal O_K$ tienen norma $\pm 1$ .

Esto se deduce de la multiplicatividad de la norma. Si $u\in \mathcal O_K$ es una unidad, tenemos $uu^{-1}=1$ donde $u^{-1} \in \mathcal O_K$ . Si aplicamos la norma a esta ecuación, obtenemos $N(u)N(u^{-1})=N(1)=1$ . Pero la norma de un entero algebraico es siempre un entero, por lo que $N(u)$ es una unidad en $\Bbb Z$ . Las únicas unidades en $\Bbb Z$ son $\pm 1$ .

Su cálculo de $N(\frac{a+b\sqrt{d}}{2})$ es correcto.

Answer 2

Es importante distinguir entre $d$ positivo y negativo y $d \equiv 1 \bmod 4$ y $d \not\equiv 1 \bmod 4$ . Tal vez sí tengas esas distinciones en mente, pero no las hayas escrito aquí en tu pregunta. Si es así, puede que simplemente esté reiterando lo que usted ya sabe muy bien.

Si $d \equiv 1 \bmod 4$ entonces el anillo de enteros $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ incluye números de la forma $$\frac{a + b \sqrt{d}}{2}$$ con $a$ y $b$ tanto impar, además de números de la forma $a + b \sqrt{d}$ con $a$ y $b$ de cualquier combinación de paridad. Entonces, con $a$ y $b$ tanto impar, tenemos $$N\left(\frac{a + b \sqrt{d}}{2}\right) = \frac{a^2 - b^2 d}{4}.$$ Desde $a$ es impar, $a^2 \equiv 1 \bmod 4$ y puesto que $b$ es impar, entonces $b^2 \equiv 1 \bmod 4$ también. Entonces $a^2 - b^2 d$ es múltiplo de $4$ . Entonces es por eso que te importa encontrar $N(x) = -4$ o $4$ .

Salvo dos excepciones, si $d < 0$ entonces sólo hay dos unidades en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ : $-1$ y $1$ y ambos tienen norma $1$ . En las dos excepciones ( $\mathbb{Z}[i]$ y $\mathbb{Z}[\omega]$ ), hay algunas unidades más, pero todas tienen también norma $1$ . Si $d > 0$ entonces podría haber unidades de norma $-1$ pero eso no está garantizado. Busque "unidad fundamental" en este sitio para una discusión más a fondo de lo que tengo tiempo para escribir aquí.

Answer 3

Sólo deseo complementar, no suplantar, la respuesta de Mathein.

Todo anillo cuadrático tiene unidades de norma 1. Pero algunos anillos reales tienen unidades de norma $-1$ y ahí es donde las cosas se ponen interesantes, en mi opinión. Basta con comprobar la norma de la unidad fundamental. Observa:

• $N(\phi) = -1$
• $N\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right) = -1$
• $N(4 + \sqrt{17}) = -1$
• $N\left(\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right) = 1$ ... ¡guau!

Depende de $d$ . Vemos que 5, 13 y 17 son primos congruentes a 1 módulo 4, pero 21 es compuesto, producto de primos congruentes a 3 y no a 1 módulo 4. Si le parece interesante, lea el capítulo 11 del libro de Alaca y Williams Teoría algebraica de números .