Evaluar $ \int^{ \pi/2}_{- \pi/2} \frac {1}{ 1+e^{\sin x} }dx $

Question

Evaluar $ \int^{\pi/2}_{-\pi/2} \frac {1}{ 1+e^{\sin x} }dx $

Solución:

Creo que las funciones pares e impares no son útiles aquí.

Tampoco obtenemos nada al tomar $e^{\sin x} $ común en el denominador.

Además, la racionalización del denominador no sirve de nada.

Realmente no tengo idea de cómo resolver esta pregunta.

Por favor, ayuda.

Answer 1

Poner

$$f(x)=\frac1{1+e^{\sin x}}\implies f(-x)=\frac1{1+e^{\sin(-x)}}=\frac1{1+e^{-\sin x}}=e^{\sin x}f(x)=1-f(x)$$

para que tengamos

$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x)\,dx=\int\limits_{-\pi/2}^0f(x)\,dx+\int\limits_0^{\pi/2}f(x)\,dx=$$

$$\int\limits_0^{\pi/2}f(x)e^{\sin x}dx+\int\limits_0^{\pi/2}f(x)\,dx=\frac{\pi}2$$

Answer 2

Esta respuesta es una ligera generalización de la respuesta de @DonAntonio.

Cualquier función puede descomponerse en funciones pares e impares, $$f(x) = f_{+}(x) + f_{-}(x),$$ donde $$f_\pm(x) = \frac{1}{2}(f(x)\pm f(-x)).$$ Note que $f_\pm(-x) = \pm f_\pm(x)$, entonces $f_+$ es par y $f_-$ es impar.

Entonces,
$$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a f(x)dx &=& \int_{-a}^a f_{+}(x)dx + \underbrace{\int_{-a}^a f_{-}(x)dx}_{0} \\ &=& 2\int_{0}^a f_{+}(x)dx \end{eqnarray*}$$ para cualquier función.

Para $f(x) = 1/(1+e^{\sin x})$ tenemos $f_+(x) = 1/2$. Por lo tanto, $$\int^{ \pi/2}_{- \pi/2} \frac {1}{ 1+e^{\sin x} }dx = 2\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} dx = \frac{\pi}{2}.$$

Answer 3

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx $$

$$ =\int_{0}^{-\pi/2} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx+\int_{\pi/2}^{0} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx $$

$$\text{Ahora, poniendo } y=-x \text{ en } \int_{0}^{-\pi/2} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx,$$

$$\text{ obtenemos } \int_{0}^{-\pi/2} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1+e^{\sin(-y)}}(-dy)$$ $$=\int_{0}^{\pi/2}\frac{e^{\sin y}}{1+e^{\sin y}}(-dy)\text{ ya que }\sin(-y)=-\sin y$$

$$=\int_{\pi/2}^{0}\frac{e^{\sin y}}{1+e^{\sin y}}dy \text{ ya que } \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$$

$$=\int_{\pi/2}^{0}\frac{e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}}dx \text{ ya que } \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(y)dy$$

$$\implies \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx=\int_{0}^{-\pi/2} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx+\int_{\pi/2}^{0} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx $$

$$=\int_{\pi/2}^{0}\frac{e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}}dx+\int_{\pi/2}^{0} \frac{1}{1+e^{\sin x}}dx$$

$$=\int_{\pi/2}^{0}\frac{1+e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}}dx=\int_{\pi/2}^{0}dx$$

Answer 4

Generalización:

Usa $\displaystyle I=\int_p^qf(x)\ dx=\int_p^qf(p+q-x)\ dx$

para que $\displaystyle I+I=\int_p^q[f(x)+f(p+q-x)]dx$

Para $\displaystyle I=\int_{-a}^a\dfrac1{1+c^{g(x)}}$ donde $ g(x) $ es cualquier función impar es decir, $ g(-x)=-g(x) $ como $ \sin x $

$ f(p+q-x)=\dfrac1{1+c^{g(-x)}}=\dfrac{c^{g(x)}}{1+c^{g(x)}}$

$ f(x)+f(p+q-x)=1$

El resto debería ser fácil.