Secuencias de transfinite de topologías

Question

No estoy familiarizado con los argumentos con los ordinales por lo que este puede ser bastante simple. Deje $T$ ser una topología en un conjunto $X$. Para cada ordinal $\alpha$ deje $T_{\alpha}$ ser una topología en $X$ satisfacción $T\subseteq T_{\alpha+1}\subsetneq T_{\alpha}$ (nótese la inclusión adecuada) y $T_{\alpha}=\bigcap_{\beta<\alpha}T_{\beta}$ al $\alpha$ es un ordinal límite. Al parecer, esto debería implicar que hay algunos ordinal $\gamma$ tal que $T=T_{\gamma}$. ¿Por qué es esto?

Edit: veo que hay un problema con la pregunta anterior. Voy a tratar de derecho esta aquí. Henno es justo que me estoy refiriendo a un determinado $f$ que hace una topología específica que contenga $T$ más grueso, pero de modo que la nueva topología todavía contiene $T$.

Nueva pregunta:

Empezamos con una topología $T_0$ $X$ contiene $T$ $T\subseteq T_{\alpha+1}=f(T_{\alpha})$ sucesor ordinales. Tenemos $T_{\alpha}=\bigcap_{\beta<\alpha}T_{\beta}$ para el límite de los números ordinales. También tenemos que $T_{\alpha+1}=T$ siempre $T_{\alpha+1}=T_{\alpha}$. Al parecer debe haber un $\gamma$ tal que $T=T_{\gamma}$. ¿Por qué es esto?

Answer 1

La razón es que a medida que avance con la recursividad, que poco a poco están lanzando objetos fuera de su conjunto. Puesto que sólo se dispone de un conjunto de objetos, para empezar, finalmente, debe ejecutar de cosas para tirar. La única manera en que esto puede suceder, bajo los supuestos de que ha configurado, es si ha afectado a la parte inferior de la topología $T$.

Uno se puede convertir esta idea en una prueba señalando que si la recursión nunca golpear $T$, entonces usted podría tener una inyección de la clase de los números ordinales en el juego de poder de $T_0$, por el mapa de $\alpha\mapsto (T_\alpha-T_{\alpha+1})$. (O también se puede seleccionar un elemento de este conjunto y obtener un mapa directamente en $T_0$.) Esto estaría en contradicción con Hartog del teorema de, entre otros, que para cada conjunto hay un ordinal que no inyectar en ella.

Answer 2

Para cada $\alpha$ tenemos $T_\alpha\subseteq P(P(X))$, si tienes una cadena decreciente de algo más de $2^{2^X}$ entonces se debe estabilizar en algún lugar por un simple argumento de cardinalidad.

Ya todas las topologías $T$ tiene que ser que en algún momento nos alcanzó.