Me han dicho lo siguiente en cuanto a operaciones de multiplicación y la inversión del grupo son por qué lisas en $\text{SL}(n, \mathbb{R})$. La multiplicación es lisa porque las entradas de la matriz de una matriz de producto $AB$ son polinomios en las entradas de $A$% #% y #% y la inversión es lisa por regla de Cramer. ¿Pero este tipo de se siente como un poli hacia fuera... hay algo que me falta?
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Rob Dickerson
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¿Por qué usted cree que esto es un "cop-out"? Es una forma muy elegante, argumento, para la inversión de matrices, especialmente (es bastante obvio que la multiplicación de la matriz iba a ser suave). Al invertir una matriz utilizando LU o la eliminación Gaussiana, por ejemplo, usted puede hacer todas estas pivotante operaciones que asegurarse de que no parece que va a ser suave, como algunos la elección de los coeficientes de paso por cero. La regla de Cramer muestra que los coeficientes de la matriz inversa son sólo racionales de polinomios de la matriz de entradas, con el denominador no sea cero, mientras que el determinante no se desvanezca.
ronno
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Bueno, depende de lo que su definición de suave mapas entre los colectores incrustado en $\mathbb{R}^k$ es.
Si uno está usando la definición implican pre y post componer gráficos, a continuación, a priori, la multiplicación, que es suave como un mapa de $\mathbb{R}^{n^2} \times \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}^{n^2}$, no es necesario restringir a una suave mapa de $\operatorname{SL}(n,\mathbb{R}) \times \operatorname{SL}(n,\mathbb{R}) \to \operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$, especialmente desde $\operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$ no es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n^2}$. Del mismo modo, a la inversa mapa de $\operatorname{GL}(n,\mathbb{R}) \to \operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$ es suave por la regla de Cramer, pero algunas argumento debe ser hecha por la restricción.
Por otro lado, si sólo se está tratando con incrustado submanifolds de espacio euclidiano, entonces por simplicidad, a menudo se define suave mapas a los que son localmente restricciones de suave mapas entre los $\mathbb{R}^k$ de diversas dimensiones. En este caso, no hay nada más que mostrar.
Los argumentos requeridos podría, por supuesto, también se pueden hacer en general, lo que indica que estas dos definiciones son equivalentes. Esto podría implicar alguna forma de implícito/teorema de la función inversa.
Rudy the Reindeer
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Aquí es un argumento de por qué la multiplicación es suave:
Si se aplica la definición de la derivada a una lineal mapa de $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ usted ver que $f' = f$. Esto es debido a que el (Fréchet), derivado a $x$ se define como el continuo lineal mapa de $A$ tal que $\lim_{h \to 0}{\|f(x+h) - f(x) - Ah\|\over \|h\|} = 0$.
Está claro que el mapa de $f_A(B)= AB$ es lineal, por lo tanto $(f_A)' = f_A$ y, por tanto, $f_A$ es suave.
Por la suavidad de tomar inversos:
El Fréchet derivados del mapa de $\varphi: A \mapsto A^{-1}$ es el mapa $B \mapsto -A^{-1}BA^{-1}$. Ya tenemos la suavidad de la multiplicación de la matriz de las derivadas de $\varphi$ es suave por lo tanto $\varphi$ sí es suave.
El paso clave en lo que yo percibo, para muestra de esto es que lisa de los mapas en un colector $M$ que la tierra en un suave submanifold $N$ son también suave de los mapas en el submanifold. Esto puede ser comprobado en coordenadas locales, por el siguiente argumento. Dada la restricción de que un punto de $p$ se encuentra en un $k$-dimensiones submanifold $N$$\mathbb{R}^n$, algunos de sus coordenadas son una función suave de los restantes $k$ coordenadas, por lo que en un barrio de $U$ $p$ no es un buen mapa que envía cada punto de a $N$ que es la identidad en $N \cap U$, y este mapa está claramente suave con respecto tot el gráfico de $N$ dado por la elección de la $k$ distinguido coordenadas. Así, a nivel local, nuestro mapa original en $N$ es la composición de un buen mapa en $U$ y un suave en $N \cap U$, y por lo tanto es suave.
En este caso, $SL(n, \mathbb{R})$ es el buen submanifold de $GL(n, \mathbb{R})$, que se abre en $\mathbb{R}^{n^2}$ y por lo tanto tiene un solo gráfico de coordenadas, y los de arriba se aplica. Sin embargo, ahora se puede hacer esto para cualquier subgrupo cerrado de $GL(n, \mathbb{R})$.
Resulta que un subgrupo $G \subset GL(n, \mathbb{R})$ es un buen colector de si y sólo si es cerrado como un subconjunto de a $GL(n, \mathbb{R})$. La prueba de esto, en esencia, consiste en construir el espacio de la tangente a la identidad mirando secuencias que convergen a la identidad que tiene la limitación de las direcciones y mostrando que el conjunto de la limitación de las direcciones corresponde a un espacio vectorial $V$, y, a continuación, muestra que para un barrio de $0$ en $V$, $X \to e^X$ es un gráfico de $G$ – esto se puede hacer sin tener que invocar más abstracto/"poderoso"/aparentemente tautológica o circular resultados $($es decir, esto es una Mentira grupo, de modo que todo es trivial$)$. Una vez que tiene un gráfico cerca de la identidad, podemos multiplicar sus elementos por cualquier $g \in G$ para obtener un gráfico cerca de $g$.
