Para encontrar el $\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\sin(x)}$ ¿por qué la sustitución de $\sin(x)=t$ da una respuesta errónea?

Question

Para averiguar este básica integral $$\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\sin(x)} \,\mathrm{d}x$$ Yo, sin embargo, de estos dos métodos :

Método 1:

Empecé multiplicando y dividiendo por $1-\sin(x)$ y, a continuación, la manipulación es uno consigue fácilmente - $$\int_0^{\pi} {(\sec(x)\tan(x) - (\tan(x))^2})\,\mathrm{d}x$$ Que es muy fácil de calcular y que le da valor de $\pi-2$ Yo no tengo ningún problema con este método , aunque me tomó algún tiempo para resolverlo.

Método 2 : Esta fue la primera cosa que yo había pensado :

Deje $\sin(x)=t$ y, a continuación, cuando traté de cambiar los límites de la integral me encontré con que esta sustitución se hace tanto a los límites superior e inferior como $t=0$, lo que daría El valor de la integral anterior = 0 , de acuerdo a la propiedad $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.

Pero el método anterior da respuesta de $\pi-2$, entonces lo que está mal con el método 2 . Es que la sustitución incorrecta ? Pero, ¿cómo y por qué ?

Answer 1

La función del seno no es una función inyectiva en el intervalo de $(0,\pi)$. Si desea aplicar la sustitución de $\sin(x)\mapsto z$, usted tiene que romper el intervalo de integración en mitades: esto porque válida la sustitución es dada por un diffeomorphism, no sólo un mapa diferenciable.

En palabras simples, se le permite al estado que $$\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(s))\,g'(s)\,ds$$ sólo si $g$ es una función inyectiva sobre el intervalo de integración, y $\sin(x)$ no es inyectiva sobre $(0,\pi)$. De lo contrario se obtendría $\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx=0$ y que es claramente erróneo.

Un posible camino a seguir es: puesto que el $\sin(x)$ función es simétrica con respecto al punto de $x=\pi/2$, $$ \int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)\,dx}{1+\sin(x)}=2\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(x)\,dx}{1+\sin(x)}=2\int_{0}^{1}\frac{t\,dt}{(1+t)\sqrt{1-t^2}}.$$

Eso es correcto, incluso si no es la forma más eficiente para calcular dicha integral.
Una forma más eficaz es establecer $x=2\arctan\frac{t}{2}$ (aka Weierstrass sustitución) para obtener $$16\int_{0}^{+\infty}\frac{t\,dt}{(4+t^2)(2+t)^2}$$ que puede ser abordado a través de la fracción parcial de la descomposición.

Answer 2

Método 2 falla pues el $[0,\pi]$, $\sin(x)$ no es monótono, así que no tenemos un buen inverso para aplicar. Tenemos que romper el intervalo en intervalos en que $\sin(x)$ es monotono. Por ejemplo, $\left[0,\frac\pi2\right]$ y $\left[\frac\pi2,\pi\right]$. Usando la sustitución $x\mapsto\pi-x$, de hecho, tenemos $$ \int_0^{\pi/2}\frac{\sin(x)}{1+\sin(x)}\,\mathrm{d}x=\int_{\pi/2}^\pi\frac{\sin(x)}{1+\sin(x)} \,\mathrm {d} x $$ que $$\begin{align} \int_0^\pi\frac{\sin(x)}{1+\sin(x)}\,\mathrm{d}x &=2\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(x)}{1+\sin(x)}\,\mathrm{d}x\\ &=2\int_0^1\frac{t}{1+t}\,\mathrm{d}\arcsin(t)\\ &=2\int_0^1\frac{t}{1+t}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}\\ &=2\int_0^1\left(1-\frac1{1+t}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}\\ &=\pi-2\int_0^1\frac1{1+t}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}\\ &=\pi-2\left[-\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}\,\right]_0^1\\[6pt] &=\pi-2 \end {alinee el} $$

Answer 3

Sugerencia: establecer $$t=\tan(x/2)$$ and then we have $% $ $\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$

Answer 4

Mientras que la sustitución tangente del ángulo mitad (Weierstrass sub) es un enfoque general que, como sugiere Sonnhard, se puede evitar aquí ya que puede que no estén familiarizado con esa herramienta de integración, así que aquí está otro enfoque por primera reescritura y dividir el Numerador: %#% $ de #% este último puede ser integrado al multiplicar superior un fondo por $$\frac{sinx}{1+sinx}=\frac{1+sinx-1}{sinx+1}=1-\frac{1}{1+sinx}$. Entonces se vuelve muy fácil. Como gato, ser un poco cuidadoso con estos límites... Darle oportunidad

Answer 5

\begin{align} \frac{\sin x}{1+\sin x}&=1-\frac{1}{1+\sin x}\\ &=1-\frac{1}{\left(\cos \frac x2+\sin \frac x2\right)^2}\\ &=1-\frac{\cos^2 \frac x2+\cos \frac x2 \sin \frac x2+ \sin^2\frac x2-\cos \frac x2 \sin\frac x2}{\left(\cos \frac x2+\sin \frac x2\right)^2}\\ &=1-\frac{\cos \frac x2\left(\cos \frac x2+ \sin \frac x2\right)-2 \sin\frac x2\left(-\frac12\sin\frac x2+\frac12\cos \frac x2 \right)}{\left(\cos \frac x2+\sin \frac x2\right)^2}\\ &=\frac{d}{dx}\left(x-\frac{2\sin \frac x2}{\cos \frac x2+\sin \frac x2}\right) \end{align} por lo tanto\begin{align} \color{red}{\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{1+\sin x}dx=\pi-2}. \end {Alinee el}