¿Hay una teoría de las definiciones extensibles?

Question

Podemos definir a la $+$ como una función de $\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$, y, a continuación, probar:

Teorema 1. El rango de $+$$\mathbb{N}$.

Si más tarde desea extender $+$ a una función $\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}$, entonces tenemos un problema; de acuerdo a nuestra nueva definición, el teorema hemos demostrado que no es verdad. Para ser rigurosos, por lo tanto, debemos definir una nueva operación $ +' : \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}$. Pero este es torpe. En la práctica, lo que suelen hacer es abstenerse de hablar acerca de $+$ en ciertas maneras, y esto nos permite ampliar la definición. Así, por ejemplo, la siguiente frase está bien:

Teorema 2. Para todos los $a,b \in \mathbb{N}$ sostiene que $a \leq a+b$.

Escribiendo frases como Teorema de sólo 2, y abstenerse de frases como Teorema 1, somos capaces de extender $+$ sin invalidar nuestros anteriores teoremas, como opuesto sin tener que introducir una nueva operación $+'$.

Así que lo que estoy buscando es una aproximación rigurosa a la idea de que, por la vinculación de una definición con información adicional acerca de cómo esa definición está permitido para ser utilizado, se hace extensible. Y los más estrictos que estamos acerca de cómo una definición puede ser utilizado, el más extenso, se hace.

Hay una teoría de extensible definiciones?

P. S. no sé qué etiquetas son apropiados para esta pregunta. Por favor, siéntase libre para volver a etiquetar.

Answer 1

No creo que haya ninguna distinción formal entre (i) y (ii) que se lo habría dicho a usted, a sabiendas de que sólo sobre la suma de $\mathbb N$, que uno se va a seguir para la celebración extendion y el otro no.

Habría sido bastante simple en lugar de definir una extensión de $+_{\mathbb N}$ $\mathbb Z$que en su lugar se conserva la validez de (ii), pero no conservar (i). Por ejemplo, podríamos haber definido $a+_{\mathbb Z}b=|a|+_{\mathbb N}|b|$ y el resultado de la $+_{\mathbb Z}$ habría sido todavía un estricto extensión de $+_{\mathbb N}$, satisfactorio (ii), pero no (me).

Así que no es realmente que algunas afirmaciones son inherentemente extensible, sino simplemente que en la elección de las extensiones que consideramos que implícitamente elegir las propiedades que se van a seguir manteniendo. Por el contrario, nuestro deseo de mantener algunas de las propiedades válidas informará a nuestra selección de extensiones que nos permiten mantener el mismo nombre y símbolo.

Por supuesto, cuando se definió originalmente + podíamos haber vinculado con una lista explícita de las propiedades que tenemos la intención de todas nuestras extensiones de él para mantener la satisfacción. Pero eso no es muy satisfactoria solución en un lugar más grande, porque en general nos querrá ser capaz de tener en cuenta muchos tipos diferentes de extensiones, algunas de las que se preservan las propiedades de muchos otros que van a dejar a la mayoría de ellos detrás.

Por ejemplo, la mayoría de las extensiones de $+$ de preservar la propiedad $a+b=b+a$, y en la mayoría de los casos sin duda que desee considerar que "extensible" si la palabra ha de tener algún significado útil. Sin embargo, $a+b=b+a$ es no cierto acerca de la costumbre de extensión de $+$ a la suma de transfinito ordinales.

Answer 2

Quizás lo que está buscando es el modelo de la teoría. Modelo de la teoría es una rama de la lógica que se ocupa de las estructuras definidas en particular idiomas (que sólo constan de algunos símbolos y reglas de sintaxis). Como un ejemplo, supongamos que tu lengua $\cal{L}$ consiste en la constante símbolo "$0$", en un lugar de la función de símbolo "+", y un predicado binario "$\leq$". A continuación, en la estructura de la $\mathcal{N} = \langle \mathbb{N},0^\mathbb{N},+^\mathbb{N},\leq^\mathbb{N} \rangle$, donde "$s^\mathbb{N}$" denota el estándar de interpretación de estos símbolos en $\mathbb{N}$, (i) y (ii) mantener en esta estructura, es decir,$\mathcal{N} \vDash \forall x\forall y(x \leq x + y)$$\text{ran}(+^\mathbb{N}) = \mathbb{N}$. Ahora definir otra estructura $\mathcal{Z} = \langle \mathbb{Z},0^\mathbb{Z},+^\mathbb{Z},\leq^\mathbb{Z} \rangle$ en una manera similar. En este caso, ya no es el caso que $\mathcal{Z} \vDash \forall x\forall y(x \leq x + y)$, pero lo que tenemos es $\mathcal{Z} \vDash \forall x,y \geq 0(x \leq x + y)$ (donde "$\geq$" es una abreviatura adecuada), así que (yo) todavía está en buen estado. Como de (ii), entonces sólo tenga en cuenta que, en estas estructuras, $+^\mathbb{Z} \mid \mathcal{N} = +^\mathbb{N}$, donde "$\mid$" es ahora denota la restricción a una subestructura. Por lo que el intervalo de $+^\mathbb{Z} \mid \mathcal{N}$$\mathbb{N}$, como antes, aunque el rango de total $+^\mathbb{Z}$ no $\mathbb{N}$.

Además de ser una buena herramienta para hablar acerca de todo este tipo de cosas, el modelo de la teoría tiene una serie de resultados con respecto a la "definability" en un modelo, es decir, cuando un modelo se puede definir ciertos objetos/propiedades y cuando no, y también qué cosas se siguen de tales objetos definibles por el/propiedades. También hay un número de "preservación" de los resultados, indicando cuando ciertas frases (por lo general de una cierta forma sintáctica) siguen siendo cierto en las extensiones/subestructuras de la estructura original que estás buscando. Así, por ejemplo, $\mathcal{Z}$ no satisface la sentencia $\forall x \forall y (x \leq x + y)$ (desde $y$ podría ser negativo); el modelo de la teoría vamos a probar algo más general, a saber. $\forall_1$ frases (que tiene la forma sintáctica de una cadena de $\forall$s seguido por una fórmula atómica) no son necesariamente conserva en las extensiones de estructuras, a pesar de que está conservado en la máquina. Para una buena introducción para el material, ver Hodges Un Corto Modelo de la Teoría o del Marcador del Modelo de la Teoría: Una Introducción (nótese, sin embargo, estos asumen que usted ya está familiarizado con los conceptos básicos de la lógica matemática).