Prueba para determinación del $ $ $\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos(x)}=1$.

Question

Demostrar por definición $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos(x)}=1$ $

Que $\epsilon >0$, $\delta =|\sec^{-1}(\frac{e^2}{4})|+1$
Si $|x|<\delta$ luego

$|\frac{1}{\cos(x)}-1|=|\frac{1-\cos(x)}{\cos(x)}|=\frac{|1-\cos(x)|}{|\cos(x)|}\leq\frac{2}{|\cos(x)|}=|\sec(x)|2<2(|\sec^{-1}(\frac{\epsilon^2}{4})|+1)=2|\sec^{-1}(\frac{\epsilon^2}{4})|+2$

Estoy atrapado aquí.

¿Cómo puedo demostrarlo?

$2\sec^{-1}(\frac{e^2}{4})+2<\epsilon$

Answer 1

Si se le permite utilizar el límite derecho, entonces

$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{cos(x)} = \frac{1}{\lim_{x \to 0}cos(x)}$, Entonces usted puede concentrarse en el denominador.

De lo contrario, intenta encontrar algún $\delta$ tal que

$|\frac{1}{cos(x)} - 1| = \frac{1}{cos(x)} - 1 < \epsilon$ % todo $|x| < \delta$

$\frac{1}{cos(x)} < 1 + \epsilon \Longrightarrow$ % simplemente deje $\delta = \sec^{-1}(1+\epsilon)$podría funcionar. No estoy seguro si esto es correcto...

Answer 2

Usted quiere ser capaz de decir si alguien te da un $\epsilon > 0$ que requiere $\left|\frac{1}{\cos(x)} - 1\right| < \epsilon$, usted puede dar algunos $\delta > 0$ que esta desigualdad tiene todos $|x| < \delta$. Observe que $\left|\frac{1}{\cos(x)} - 1\right| = \left|\frac{1 - \cos(x)}{\cos(x)}\right|$, y

$$ | 1 - \cos(x) | \leq \left|\frac{1 - \cos(x)}{\cos(x)} \right| < \epsilon $$

Notar si seleccionamos $x=\cos^{-1}(1-\epsilon)$, entonces el $|1 - \cos(x)| = \epsilon$.

Así que elija $\delta = \cos^{-1}(1-\epsilon)$ y hemos terminado.