Las condiciones debilitadas para étale + X implican fielmente plano.

Question

Deje $F:R \to S$ ser un étale de morfismos de anillos. Se sigue con un trabajo en el que $f$ plano.

Sin embargo, fiel plano es otra historia. No es difícil mostrar que los fieles + plana es más débil que ser fielmente plana. Un equivalente a la condición de ser fielmente piso está siendo surjective en los espectros.

La pregunta: ¿Hay alguna condición adicional de que podemos exigir en un étale de morfismos que implica fieles planitud?

"Fielmente plana implica fielmente plano" o "surjective en los espectros es equivalente fielmente plano" no cuentan. La respuesta debe utilizan de alguna manera el hecho de que los morfismos es étale (o al menos plana).

Como se puede ver en la etiqueta, todos los anillos conmutativos, unital, etc.

Edit: ¿por Qué fielmente plano es más débil que los fieles + plana.

Edit 2: me molesta la votación de esta pregunta sin el acompañamiento de las observaciones, así como la votación de la labia y la ineficiente respuesta a continuación. Es claro que algunos de ustedes están en el hábito de votación de las entradas basadas en el cartel más que en el contenido, y creo que es vergonzoso. No hay nada que yo pueda hacer, porque ninguno de ustedes tiene la decencia básica para al menos dejar un comentario. Estoy completamente a su merced. Has ganado. Espero que te hizo muy feliz.

Edit 3: para responder A las Emerton del comentario, me preguntó después:

un.) La lectura de este post por Jim Borger

b.) Preguntando a mi álgebra conmutativa profesor en un e-mail

Que me llevó a pensar (tal vez debido a un error en la lectura de dichas fuentes) que esto era una pregunta más difícil de lo que resultó ser.

Answer 1

La definición de $f:R\to S$ siendo fielmente plano que la primera vez que vi es que el $S\otimes_R-$ es exacta y fiel (lo que significa que $S\otimes_R M=0$ implica $M=0$). No estoy seguro exactamente lo que su definición de "fielmente plano", pero parece que eres feliz con el "plano y surjective en los espectros." Usted obtener planitud de forma gratuita desde étaleness, así que voy a mostrar que el extra fidelidad condición implica surjectivity en los espectros.

En tensoring con $S$, $f$ vuelve $f\otimes_R id_S:S\cong S\otimes_R R\to S\otimes_R S$, dado por $s\mapsto s\otimes 1$. Este es inyectiva, ya que es una sección de la multiplicación $S\otimes_R S\to S$. Por la llanura de $S$, esto muestra que $S\otimes_R \ker f=0$, lo $\ker f=0$. Así que voy a identificar a $R$ con un sub-anillo de $S$.

Deje $\mathfrak p\subseteq R$ ser una de las primeras ideal. Queremos mostrar que hay un primer $\mathfrak q\subseteq S$ tal que $\mathfrak q \cap R=\mathfrak p$. Deje $K$ ser el núcleo de la morfismos $R/\mathfrak p\to S/\mathfrak p S$ $R$- módulos. En tensoring con $S$, este morfismos se convierte inyectiva (como antes, es una sección de la multiplicación de mapa de $S/\mathfrak p S\otimes_R S/\mathfrak p S\to S/\mathfrak p S$), por lo que por la llanura de $S$,$S\otimes_R K=0$, lo $K=0$. Esto demuestra que $\mathfrak p S \cap R=\mathfrak p$ (si la intersección eran más grandes, $K$ sería distinto de cero). Por lo $\mathfrak p$ genera una adecuada ideal en la localización de la $(R\setminus \mathfrak p)^{-1}S$. Deje $\mathfrak q\subseteq (R\setminus \mathfrak p)^{-1}S$ ser un ideal maximal que contiene a $\mathfrak p$. Esto corresponde a algunos de los mejores ideales $\mathfrak q$ (leve abuso de notación a utilizar la misma carta) de $S$ que contiene $\mathfrak p$, pero no se cruzan $R\setminus \mathfrak p$, lo $\mathfrak q\cap R=\mathfrak p$.

Véase también el ejercicio 16 del Capítulo 3 de Atiyah-Macdonald.

Answer 2

así que sí, mira, estaba tratando de ser gracioso y también tratando de resaltar la naturaleza absurdamente arrogante de las advertencias en la pregunta. para ser serio, diría que si F es etale, entonces es fielmente plano si es surjective en puntos de campo separados y validados, pero también comenta que lo mismo es cierto con "etale" reemplazado por "smooth", así que supongo que No estoy usando toda la fuerza de la condición del etale.