Encuentre el intervalo de convergencia de $x + \frac{1}{2} x^2 + 3x^3 + \frac{1}{4}x^4 +...$

Question

Cómo encontrar el intervalo de convergencia de la siguiente serie: $x + \frac{1}{2} x^2 + 3x^3 + \frac{1}{4}x^4 +...$

No tengo ni idea de cómo proceder. ¿Alguna ayuda? Gracias.

Answer 1

Una pista: Aplica la prueba de la raíz a la serie. Si dejamos que $a_n$ sea la secuencia que comienza $x,\frac{1}2x^2,3x^3,\ldots$ , entonces deseamos calcular $\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ sabiendo que si es menor que $1$ la serie converge, y si es mayor que uno, diverge.

Obsérvese que los coeficientes de las potencias Impares son siempre los mayores por lo que el supremum del límite es igual a $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n+1]{|a_{2n+1|}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n+1]{(2n+1)|x|^{2n+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n+1]{2n+1}\cdot |x|=|x|.$$ A partir de aquí, se puede encontrar fácilmente el radio de convergencia, dejando sólo dos casos límite fáciles de resolver.

Answer 2

Hay un fórmula (Cauchy) para calcular el radio de convergencia de series arbitrarias:

$$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{k\to\infty}\sqrt[2k]{2k}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1$$ Está bastante claro que sólo nos interesan los términos de impar por $\limsup$ y $\sqrt[n]n\to1$ es bien conocido, por lo que el radio es $1/1=1$ .

Answer 3

Yo recomendaría dividir el $x^k*k$ y el $\frac{x^k}{k}$ y ver dónde se cruzan los dos intervalos.

$(∑(2k+1)x^{2k+1}) + (∑\frac{x^{2k}}{2k})$