¿Desciende descendencia a lo largo de las extensiones de campo?

Question

Antecedentes: Propio es mucho más robusto noción de projectiveness. Por ejemplo, el propio desciende a lo largo arbitrario fpqc cubre (ver, por ejemplo, Vistoli de Notas en Grothendieck topologías, fibrado categorías y el descenso de la teoría, la Proposición 2.36). Esto está lejos de la verdad para projectiveness. De hecho, projectiveness no descienden a lo largo de Zariski cubre! El ejemplo estándar de un adecuado no proyectiva de morfismos es localmente proyectiva sobre la base. (en la foto en un apéndice de Hartshorne; página 443, por desgracia, no en Google books)

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Entonces, ¿cómo delicado es projectivity? Supongamos que X es un esquema sobre un campo k, y supongamos que K es un campo de extensión de k tal que X_K es proyectiva sobre K. No se sigue que X es proyectiva sobre k?

La cosa obvia (creo) es elegir una muy amplia gama de paquete de L a X_K y tratar de descender a X. Si K es una extensión finita de k, entonces la norma de L será una amplia línea de paquete en la X (si no he entendido mal EGA II, sección 6.5 y Corolario 6.6.2). Pero podría ser que hay una infinita extensión de K de k tal que X_K es proyectiva sobre K, pero X no es proyectiva sobre k?

Answer 1

La totalidad de las secciones 8--12 (además de 10) de EGA IV está dedicado a desarrollarse muy exhaustiva y elegante a la generalidad la totalidad de la yoga de "difusión y especialización" de que esta pregunta no es sino un caso especial. Muy recomendable la lectura; se utiliza (implícitamente, si no de forma explícita) todo el tiempo cuando las personas prueban teoremas en la geometría algebraica por la especialización. Esto incluye demostrando resultados en $\mathbf{C}$ por "reducción para el caso de característica positiva o finito campos" (por ejemplo, Mori, Deligne-Illusie) así como la construcción de módulos de espacios estables de curvas por la excavación de subschemes de Hilbert esquemas, etc.

Aquí es un ingenioso poco de ejercicio para poner a prueba la comprensión del EGA formalismo: si $X$ $Y$ son esquemas de finito tipo sobre un campo $k$ y si hay un campo de ampliación $K/k$ que hay un $K$-morfismos $f:X _K \rightarrow Y _K$ con "razonable" de la propiedad $\mathbf{P}$, entonces hay un morfismos con $K/k$ de un número finito de extensión; aquí, "razonable" puede ser muchas cosas: isomorfismo, surjective, abra la inmersión, cerrado de inmersión, finito plana de grado 42, de un semistable curva fibration, suave, adecuada y planas y geométricas de las fibras de tener 12 irreductible de los componentes que se cruzan de acuerdo a tal y tal configuración y dimensiones, y así sucesivamente. El punto es que el inicial $f$ no es, ciertamente, descendió a un número finito subextension de la inicial $K/k$, y si la construcción a lo largo de una extensión y extendido escalares volver a la original $K$, entonces no tiene absolutamente nada que ver con el original de la $f$.

Sobre el tema de la especialización para morfismos, me puedo resistir la tentación de mencionar un hecho útil, que no es formal consecuencia de que las cosas en general: si $A$ $B$ son abelian variedades sobre un campo $k$ entonces existe un número finito (incluso separables) extensión de $k'/k$ tales que (a grandes rasgos) "todos los homomorphisms de $A$ $B$" se definen más de $k'$. Esto significa que si $K/k'$ es cualquier extensión de terreno que sea, entonces cada $K$-homomorphism $A_K \rightarrow B_K$ se define sobre $k'$. (Una prueba rápida: el localmente finito tipo de Hom-esquema ha finitely generado grupo de puntos geométricos, y es unramified por functorial criterio, por lo que es \'etale, ya que estamos sobre un campo.) No hay nada como esto para general (incluso adecuado suave) variedades; basta pensar acerca de automorfismos de espacio proyectivo.

Answer 2

Para finitos extensiones, esta se declara explícitamente como Corolario 6.6.5 en EGA II y también se afirma allí que el resultado es cierto para cualquier extensiones. Uno puede reducir el caso general, para el caso finito de la siguiente manera:

En primer lugar, podemos asumir que K es finitely generados desde cualquier proyectiva esquema está definido por un número finito de ecuaciones. Esto nos permite encontrar un finitely generado integral de dominio de Una sobre k con el cociente K y un esquema proyectivo Y más de Especificación(A) con el genérico de fibra de igualdad de isomorfo a X_K. Sea Y' = X x Spec(a) y p la proyección de Y' a Spec(A). Por la construcción de los genéricos de la fibra de los dos esquemas anteriores sobre Spec(A) son isomorfos. Por el propio fácilmente se desprende que existe un conjunto abierto U de Spec(A) tal que los dos esquemas de convertirse en isomorfo más de la U. U tiene puntos racionales sobre un número finito de extensiones de k de modo que podemos reducir a lo finito extensión caso.