Pregunta sobre conjuntos de órdenes de pozo e isomorfismos entre órdenes de pozo

Question

Yo estaba pensando acerca de este problema en tratar mejor a sentir y entender bien los pedidos (estoy tratando de aprender algo de la teoría de conjuntos) - ahora, realmente no estoy esperando a nadie para que me provea de una prueba, pero me preguntaba si yo podría ser capaz de obtener una sugerencia acerca de cómo acercarse a este.

Estoy tratando de mostrar (sin los axiomas de la elección o de la unión de lo contrario, esto es trivial) que para cualquier conjunto a $W$ de los pedidos, es un bien de orden $(A, X)$ tal que para todos los $(B, Y) \in W, \exists a \in A$ tal que $(B, Y) \cong I_a$ donde $I_a$ es el segmento inicial de $(A, X)$$a$.

Aquí es lo que estoy pensando hasta ahora:

• $W$ es totalmente ordenado bajo la orden de tipo de comparación
• si $W$ tiene un máximo de $(M, N)$, entonces tomamos $(M, N)$ y agrandar $M$ para obtener el deseado $(A, X)$
• si $W$ no tiene máximo, entonces tenemos algún tipo de infinitamente ascendente de la cadena de más y más $(B, Y)$'s, así que tal vez nos introducirá en ellos para mostrar la existencia de algún tipo de "límite" que podemos utilizar para construir el deseado $(A, X)$?
• sobre el punto anterior, tal vez podemos hacer uso del axioma de infinitud para producir este "límite"?
• wow, el pensamiento se me acaba de ocurrir en anotar el punto anterior: tal vez podemos engañar con el axioma de infinitud aquí? :-)

No estoy seguro de si estas ideas son buenos en todo lo que probablemente no lo son - pero, estoy tratando de conseguir un mejor manejo de esta materia fresca, y agradezco a la sabiduría de los perspicaz de los usuarios de aquí. Gracias de antemano!

Answer 1

Si usted toma cualquier $W$, entonces usted no puede asumir que es totalmente ordenado. Por ejemplo, si $W$ está hecho enteramente de singleton? A continuación, el tipo de orden que la comparación no es un orden total. Se trata de un total de pre-orden.

Lo que puede hacer, sin embargo, se considerar $W/\sim$ donde $\sim$ es el fin de isomorfismo relación. Ahora simplemente "llenar los vacíos". Así que si $5$ es un tipo de orden de un elemento de $W$, pero $2$ es no, añadir un subconjunto de un elemento de $W$ de tipo de orden $2$.

Entonces, ¿qué queremos realmente hacer? Reemplace $W$ $W'$ el conjunto de todos los segmentos inicial (no necesariamente la correcta segmentos inicial) de los elementos de $W$. A continuación, considere la posibilidad de $W'/\sim$. El resultado es, de hecho, bien ordenada con el fin de comparación. Y se puede demostrar fácilmente que cada orden de $W$ corresponden a algunas de segmento inicial aquí.

Como para el axioma de infinitud, no hemos utilizado aquí. En todos los. Pero si $W$ es infinito, entonces no es un conjunto (si se asume que el Infinito se produce un error) o que el Infinito tiene en el universo. Elige tu selección.