¿Cómo debo visualizar $S^n$ como la suspensión reducida de $S^{n-1}$ ?

Question

¿O existe un homeomorfismo particularmente canónico entre $S^n\subset \mathbb{R} ^{n+1}$ y $SS^{n-1}$ (la suspensión reducida)? Ahora mismo lo único que se me ocurre es pensar en los conjuntos $\{t\}\times S^{n-1}, 0 \leq t \leq 1$ en $SS^{n-1}$ como correspondientes a los conjuntos $p^{-1}(K)$ donde K es un hiperplano en $\mathbb{R}^n$ y $p$ es la proyección estereográfica $S^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ del polo norte de $S^n$ (como el $t$ pasa de $0$ a $1$ el $K$ barrer $R^n$ a través de hiperplanos paralelos).

Answer 1

Es conveniente pensar en esto en términos de la producto estrella $X \# Y$ de dos espacios con punto base. Este es el espacio $X\times Y$ con $X \vee Y= X \times * \cup * \times Y$ encogido hasta un punto. A continuación, la suspensión reducida de $X$ es realmente $X \# S^1$ . El resultado general es que

$$S^m \# S^n \cong S^ {m+n}.$$

Una forma de ver esto es decir que si $S^m$ tiene la estructura celular $e^0 \cup e^m$ y del mismo modo $S^n$ entonces $S^m \times S^n$ tiene la estructura celular

$$e^0 \cup e^m \cup e^n \cup e^{m+n}, $$ y las tres primeras casillas determinan $S^m \vee S^n$ . Así que cuando se forma el producto smash $\ldots$

He aquí una figura ilustrativa $S^1 \# S^1$ de Topología y Groupoides .

Answer 2

En reducido suspensión $S S^{n-1}$ puede representarse en $\mathbb{R}^{n+1}$ como la unión de dos conos en $S^{n-1} \subset \mathbb{R}^{n}\times\{0\},$ uno con vértice en $(0,\ldots,0,1),$ y otra con vértice en $(0,\ldots,0,-1).$

Para obtener un homeomorfismo explícito de esto a $S^{n},$ no es necesario utilizar la proyección estereográfica; en su lugar, basta con dividir cada punto de $S S^{n-1}$ (cada uno de los cuales es un vector) por su norma.

EDIT: Ya que estás pensando en el reducido suspensión, que llamaré $\Sigma S^{n-1},$ entonces su identificación es probablemente la mejor. Terminarás con un lápiz parabólico de $(n-1)$ -esferas alrededor del polo norte.

Answer 3

No es difícil ver que la suspensión no reducida es homeomorfa a esfera, así que hay que demostrar que el resultado de colapsar un segmento (estandarizadamente incrustado) en una esfera sigue siendo una esfera.

¿Puedes ver cuál es el resultado de colapsar una de las aristas de un cubo?

Answer 4

Creo que hay una forma muy bonita de ver esto. Pero requiere redefinir lo que debe ser la n-esfera. Así que en lo que sigue vamos a $S^n$ denotan la compactificación en un punto de $\mathbb{R}^n$ que está vinculada a la definición habitual a través del proyectón estereográfico (por ejemplo, cuando se trabaja con espectros simétricos, este enfoque es muy útil, ya que el $\Sigma_n$ actúa simplemente permutando coordenadas de $\mathbb{R}^n$ y fijando el punto en el infinito).

Pero en esta descripción se puede calcular explícitamente que la identificación $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^{n-1} \cong \mathbb{R}^n$ induce un homeomorfismo $S^1 \wedge S^{n-1} \to S^n$ en las compactificaciones de un punto.