Una forma de encontrar las clases de conjugación de un grupo finito

Question

¿Existe una forma sistemática (distinta de ensayo y error) de encontrar las clases de conjugación, así como el número de éstas y representantes de estas clases, para un determinado grupo finito?

Answer 1

Muchos de álgebra computacional paquetes de hacer esto de una manera que debe considerarse razonablemente sistemática. Si quieres hacerlo a mano, incluso para el "bien conocido" grupos, la respuesta es tranquilo difícil y complicado. La teoría de la forma canónica racional describe cómo determinar las clases conjugacy en ${\rm GL}(n,F)$ al $F$ es un campo finito. Para otros finito "clásica" de los grupos, la descripción de las clases conjugacy se vuelve más difícil, y ha recibido la atención de algunos muy fuerte matemáticos. Como excepcional, grupos de Lie tipo como $E_{6}(q),E_{7}(q)$ $E_{8}(q),$ la situación es todavía más compleja. En principio, (dicen que cuando se trata de un razonablemente pequeño grupo), si se desea determinar el representante de la conjgacy clases, la estrategia es clara: escoger un elemento $x \in G,$ determinar $C_{G}(x),$ y la exhibición de la $[G:C_{G}(x)]$ conjugados de $x.$, a Continuación, elija un elemento $y \in G$ no aparece en la lista, determinar el $C_{G}(y),$ etc., hasta que, finalmente, todos los elementos de a $G$ son contabilizadas. A priori, puede no ser significativa el acceso directo para un general finito grupo, a menos que se dispone de más información.