Relación entre el rango determinante y el de la matriz

Question

Deje$A$ una matriz cuadrada con el tamaño de$n \times n$.

Sé que si el rango de la matriz es$<n$, entonces debe haber una "línea de ceros", por lo tanto$\det(A)=0$.

Qué pasa $\text{rank}(A)=n$? ¿Por qué implica$\det(A)\ne0$?

Por supuesto, no existe una "línea de ceros", pero eso aún no lo prueba.
He visto una prueba en un libro que hace esta conclusión de inmediato, pero en mi humilde opinión solo, no lo prueba.

¿Cuál es la parte faltante?

Answer 1

Permita que$A$ sea una matriz$n\times n$.

Tenga en cuenta que$\det(A) \neq 0$ si las filas son linealmente independientes iff$rank(A)=n$.

Answer 2

El rango de $A$ puede ser visto como $m$ donde $m$ es el tamaño de la más grande de no-cero $m\times m$ submatriz con cero no determinante.

Alternativamente, usted puede fila reducir la matriz a dar una triangular superior de la matriz mediante la fila de los intercambios y la adición de múltiplos escalares de una fila a otra fila. Esto solo afectará el signo del determinante. Si una $n \times n$ matriz tiene rango $n$ ha $n$ columnas dinámicas (y, por tanto, $n$ pivote filas). Esto significa que usted será capaz de fila reducir a una forma triangular superior con pivotes a lo largo de la diagonal. El determinante es el producto de estos elementos a lo largo de la diagonal. Se puede demostrar que? Los pivotes son necesariamente distinto de cero y, por tanto, su producto es distinto de cero, independientemente de su signo.