El comportamiento de los grupos cocientes bajo homomorfismos

Question

Ahora mismo estamos aprendiendo subgrupos normales, núcleos, homomorfismos e isomorfismos en álgebra abstracta. Estoy tratando de atar los cabos:

Sé que si $G$ es un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$ y $\phi: G\to G′$ es un homomorfismo entonces $\phi(N)$ es un subgrupo normal de $G′$ .

Pero puedo decir que el grupo cociente $G/N$ es isomorfo a $G'/ \phi(N)$ ?

Supongamos que $\phi$ es un surjective homomorfismo.

Answer 1

Esto es falso.

Consideremos el homomorfismo $\phi:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definido por $(1,0),(0,1) \mapsto 1$ y nota que $\langle (1,0) \rangle$ es un subgrupo normal propio de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . Está claro que $\phi \langle (1,0) \rangle=\mathbb Z$ desde $(x,0) \mapsto x$ . Pero $$\frac{\mathbb Z \times \mathbb Z}{\langle (1,0) \rangle} \cong \mathbb Z \not \cong 1 \cong \mathbb Z /\mathbb Z.$$

De hecho, puedes considerar $N=G' \times \{1_{G'}\}$ y $G=G' \times G'$ entonces hacer esencialmente el mismo mapeo de coordenadas que hice en el ejemplo de los enteros (y tener $G'$ sea no trivial) para una clase de ejemplos.

Tenga en cuenta que si $\phi: G \to G'$ es un isomorfismo entonces es verdadero. Véase este pregunta.