Parábola: otra propiedad interesante

Question

Deje que ABCD sea un cuadrilátero. Supongamos que existe una parábola W_Una con Un enfoque, tangente a las líneas BC, CD y DB, y una parábola de W_C con focus C tangente a las líneas AB, BD y AD.

Supongamos que W_Unay W_C son tangentes a la línea BD en X e y respectivamente. Demostrar que BX = DY.

Quiero resolver el problema anterior utilizando geometría de coordenadas

Por el bien de la simplicidad, podemos asumir una parábola para ser y2 = 4ax, ¿verdad? Podría alguien decirme cómo proceder, y posiblemente publicar una solución detallada para el mismo?

Creo demostrando BX = DY, posiblemente, puede ser hecho usando la geometría pura/de la congruencia, pero, como estudiante de la geometría analítica deseo de continuar utilizando el sistema de coordenadas cartesianas.

Muchas gracias!

Answer 1

Una analítica de la prueba implicaría necesariamente parábolas cuyo eje no es paralelo a un eje de coordenadas, por lo que creo que más enfoque geométrico es más simple.

Vamos $E$, $F$ ser los puntos de tangencia de la parábola $W_A$ y $G$, $H$ los puntos de tangencia de la parábola $W_C$ (ver diagrama a continuación). Es un conocido de la propiedad de la parábola tangentesque $\angle AEB=\angle ABX$ $\angle ABE=\angle AXB$. Pero $\angle ABE=\angle CBH=\angle CYB$$\angle CBY=\angle BAX$: de ello se desprende que los triángulos $ABX$ $CBY$ son similares y $$ BX:CY=AX:POR. $$ Por una análoga argumento se puede demostrar que los triángulos $ADX$ $CDY$ son similares y $$ DX:CY=AX:DY. $$ La combinación de las anteriores proporciones de uno se $$ BX\cdot POR=DX\cdot DY, \quad\hbox{que es:}\quad BX\cdot (BD-DY)=(BD-BX)\cdot DY. $$ A partir de la última igualdad se sigue que $BX=DY$.