Pruebalo $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} < \ln 2$

Question

Tengo un límite superior flojo:

$$ \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {n + k}

Claramente esto es muy flexible en comparación con el límite superior$\ln 2 \approx 0.693$

Answer 1

Sugerencia :

Vuelva a escribir la suma como$\;\displaystyle\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{1+\smash[b]{\cfrac kn}}$ y obtendrá una suma de Riemann inferior para la función$\dfrac1x$ en el intervalo$[1,2]$.

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que no se basa en las sumas de Riemann o asintótico de la serie de la serie armónica. Más bien, sólo utilizamos la serie de Taylor para la función logaritmo y sencilla aritmética. Al final, empezamos con una capa de imprimación.

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IMPRIMACIÓN: Serie de Taylor para $\displaystyle \log(1+x)$

La serie de Taylor para $\log(1+x)$ está dado por

$$\log(1+x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k} \tag1$$

para $-1<x\le 1$. Establecimiento $x=1$ $(1)$ revela

$$\log(2)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\tag2$$

Vamos a utilizar el resultado en $(2)$ en el siguiente desarrollo.

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Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} S_n&=\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}\\\\ &=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\\\\ &=\sum_{k=1}^{2n}\frac1k-\sum_{k=1}^n\frac1k\\\\ &=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}\right)-\sum_{k=1}^n \frac1k\\\\ &=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\\\\ &=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\tag3 \end{align}$$

Ahora, $S_n$ es una corriente alterna de la serie con $\frac1k$ monótonamente decreciente a $0$. Por otra parte, de $(3)$ es fácil ver que $S_{n+1}>S_n>0$. Por lo tanto, el comportamiento de esta alternancia de serie y la aplicación de $(2)$ rendimientos

$$\begin{align} S_n&\le \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k}\\\\ &=\log(2) \end{align}$$

como iba a ser mostrado!

HERRAMIENTAS UTILIZADAS: serie de Taylor para $\log(1+x)$, la observación sobre el comportamiento de las sumas parciales de la alternancia de la serie, simple aritmética.

Answer 3

Sabemos$H_n = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{k} \leq \ln(n)+1$ de este enlace . Por lo tanto:

$$ \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {n + k} = H_ {2n} -H_n \ leq \ ln (2n) - \ ln (n) = \ ln (2) $ ps

Answer 4

Solo por diversión aquí hay una solución alternativa casi correcta (?):

Dejar

ps

ps

así

ps