Solución para $x^9 + x^6 + x^4 - x^2 + 1=0$

Question

Me enteré de que $5$ y de orden superior ecuaciones no pueden todos ser resuelto. He leído el de Abel-Ruffini teorema.

Mi pregunta:

Deje $$x^9+x^6+x^4-x^2+1=0$$

Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

$$x^9 + x^6 + x^4 - x^2 + 1=(x^4 + x + 1) (x^5 - x + 1)=0$$

Sí, sé que no son sólo la no-solución radical para $x^5-x+1=0$.

Pero, $x^4+x+1=0$ se puede resolver.

Por último, creo que podemos decir que, Hay $5$ sin solución radical y hay $4$ solución radical para esta ecuación. Es correcto?

Mi problema es el siguiente: Por la misma ecuación, no puedo entender, por Qué algunas de las raíces puede ser expresado en los radicales, pero la otra parte no puede ser expresado? Pero, la ecuación es la misma ecuación y este polynominal sólo tiene una gráfica..? Es esta ecuación una "semi-solucionable" ecuación?

Nota: yo no tengo la educación de matemáticas. Pido disculpas por la pregunta defectuosa.

Answer 1

Estás en lo correcto. No todas las raíces de la misma polinomio son necesariamente "igual".

En álgebra, podemos codificar esta información en el llamado grupo de Galois de la extensión de campo $Gal (F:\mathbb Q) $ donde $F $ es el más pequeño campo que contiene todos los de $\mathbb Q $ y, además, de todas las raíces. Resulta que los elementos de ese grupo son algunas (pero no siempre!) permutaciones de las raíces.

En su caso, las raíces de $x^5-x+1$ sólo puede intercambiar con las otras raíces de $x^5-x+1$, y las raíces de $x^4+x+1$ sólo puede intercambiar con las otras raíces de $x^4+x+1$. En esencia, su grupo de Galois es, sin duda, no toda la $S_9$, pero es un producto directo de algunos de los subgrupos de $S_5$ y algunos de los subgrupos de $S_4$.

Hay otros polinomios de grado 9, sin embargo, para que el grupo de Galois es el conjunto de los $S_9$ (todas las permutaciones) y para que todas las raíces son "iguales".

Answer 2

Puesto que usted ha mencionado Abel-Ruffini y teorema de user8734617 ha mencionado grupo de Galois, también puedo mencionar algunos de la teoría de Galois. Como habrán notado, su grado de $9$ polinomio puede ser incorporado en un producto de grado $4$ y el grado $5$ polinomio. De hecho, el grado $4$ polinomio es soluble por radicales utilizando Ferrari método.

Sin embargo, no es el caso de que cualquier grado $5$ polinomio no es soluble por radicales. De hecho, Galois de la solvencia teorema se extiende Abel-Ruffini teorema de diciéndonos que en un campo de $F$, con características de $0$, cualquiera que no constante polinomio $f$ $F$ es soluble por radicales si y sólo si su grupo de Galois sobre $F$, $\operatorname{Gal}(f / F)$, es solucionable. Aquí estamos interesados en el caso de $F = \mathbb{Q}$, los números racionales.

Así que para demostrar $x^5 - x + 1$ no es soluble por radicales, debemos mostrar $\operatorname{Gal}(x^5 - x + 1 / \mathbb{Q})$ no es solucionable. Nuestra estrategia es mostrar a $\operatorname{Gal}(x^5 - x + 1 / \mathbb{Q}) = S_5$, el grupo simétrico de a $5$ letras. Desde $\operatorname{Gal}(x^5 - x + 1 / \mathbb{Q})$ siempre está contenido en $S_5$, es suficiente para mostrar $S_5$ está contenido en $\operatorname{Gal}(x^5 - x + 1 / \mathbb{Q})$.

A partir de este post, $x^p - x + a$ donde $a \ne 0$ es irreductible$\bmod{p}$. Así que tenemos $x^5 - x + 1$ es irreductible$\bmod{5}$ dejando $p = 5$$a = 1$.

Además, $x^5 - x + 1 = (x^2 + x + 1) (x^3 + x^2 + 1) \bmod{2}$ donde tanto $x^2 + x + 1$ $x^3 + x^2 + 1$ son irreductibles$\bmod{2}$ ya que no tienen raíces$\bmod{2}$.

Por Dedekind del teorema, $\operatorname{Gal}(x^5 - x + 1 / \mathbb{Q})$ contiene permutación con el tipo de ciclo $(a\ b)(c\ d\ e)$ $5$- ciclo. Ahora $((a\ b)(c\ d\ e))^3 = (a\ b)^3(c\ d\ e)^3 = (a\ b)$. Por lo $\operatorname{Gal}(x^5 - x + 1 / \mathbb{Q})$ contiene una transposición y $5$-ciclo, es decir, $S_5$ está contenido en $\operatorname{Gal}(x^5 - x + 1 / \mathbb{Q})$.

Por último, desde el $S_5$ no es solucionable, llegamos a la conclusión de $x^5 - x + 1$ no es soluble por radicales!

Answer 3

Que una función tiene raíces de diferentes 'tipos' no es una cosa extraña. Simplemente expresa la singularidad de esa función. Considere la función polinómica $$(x-\sqrt2)(x-1)(x^2+1)$$, por ejemplo. Esta función tiene cuatro raíces de diferentes tipos, todos se pueden expresar en términos de los radicales, pero uno es irracional, uno es integral y dos son complejas. Esto sucede todo el tiempo. No es obligatorio que una ecuación para tener el mismo tipo de raíces.

Así que, cuando se espera que una ecuación polinómica sobre el complejo campo de tener sólo las raíces que son radicalmente expresable o de lo contrario, se crea una falsa y distinción innecesaria. De hecho, lo que usted llama no-radical raíces son sólo "trascendental", por así decirlo. Así que no hay nada más extraño aquí que la diagonal de un cuadrado de unidad es un número irracional.

Curioso, sí. Pero no alarmante o contradictorios en la forma en que usted puede pensar.

Answer 4

Qué tiene de especial el hecho de que algunas de las raíces puede ser expresado por los radicales, mientras que algunas raíces puede no? Considere la ecuación de $x^3-x^2-2x+2=0$. Sus raíces son $1$, $\sqrt2$, y $-\sqrt2$. Uno de ellos es un entero y los otros dos son irracionales. ¿Ves un problema aquí? Yo no.

No veo por qué no se puede alegar que "no hay solución integral para $x^5−x+1=0$". Esta ecuación no tiene entero (o incluso racional) de la solución. O ¿quieres decir algo más?