La función toma todos los valores tres veces

Question

Hace poco vi el siguiente rompecabezas en algún lugar:

Encontrar un continuo, surjective función de $f:\mathbb R\mapsto\mathbb R$ que se lleva en cada uno de sus valores exactamente tres veces.

O, más técnicamente, declaró,

Encontrar un continuo, surjective función de $f:\mathbb R\mapsto\mathbb R$, de tal manera que para todos los $y\in\mathbb R$, existen exactamente tres soluciones reales $x$ a de la ecuación de $f(x)=y$.

Mi solución a este rompecabezas fue la función $$f(x)=\sin^2 \frac{3\pi(x-\lfloor x\rfloor)}{2}+\lfloor x\rfloor$$ Desde entonces, he pensado en un par de variaciones en este rompecabezas, ninguno de los cuales me han sido capaces de resolver:

• Puede una función de $g:\mathbb R\mapsto \mathbb R^2$ satisfacer estos requisitos? ¿Qué hay acerca de la función $h:\mathbb R^2\mapsto \mathbb R$?
• Cuál es la función del $f$ satisface el rompecabezas original, y también es $C^\infty$?

Answer 1

A partir de la siguiente idea:

$$g(x)=\sin x + \frac{2}{3\pi}x$$

g(x) parcela

podemos ajustar la constante de x de tal manera que

$$f(x)=\sin x + Kx$$

fullfills la condición dada.

El valor de K puede ser fácilmente encontrado imponente que:

$$\begin{cases}(\sin x)'=\cos x=-K\\ Kx=-\sin x\end{casos}$$

$$\implies tanx=x \implies x\approx4.49340945790906 \quad K=-\cos x \approx 0.21723362821123...$$

f(x) parcela

Answer 2

Me gusta Jack descripción, dibujar un fijo curva sinusoidal y encontrar la tangente a las líneas a través del origen. En este caso, me estoy encontrando un punto de tangencia con $2 \pi < x < \frac{5 \pi}{2}.$, según las circunstancias, la pendiente $K$ sale positivo, con $K \approx 0.128374554, $ solución de $$K \left( 2 \pi + \arccos K \right) = \sqrt {1 - K^2}$$ El $x$ valor de la tangente es acerca de $7.725251838,$ justo debajo de $\frac{5 \pi}{2} \approx 7.853981635$$

Esta vez, llegamos cada uno de los valores asumidos por la función de cinco veces, la función de ser $\sin x - K x.$

Bien, he ampliado para incluir a $\pm 14,$ clic, lo que demuestra las raíces y de los puntos críticos. Se dice que hay puntos críticos en $x \approx \pm 14.008$