Es $\mathbb Z[[X]]\otimes \mathbb Q$ isomorfo a $\mathbb Q[[X]]$?

Question

Es $\mathbb Z[[X]]\otimes \mathbb Q$ isomorfo a $\mathbb Q[[X]]$?

Aquí producto tensor está sobre el anillo de $\mathbb Z$ $\mathbb Z[[X]] $ denota poder formal de la serie sobre $\mathbb Z$. Creo que esto es cierto si tomamos polinomio anillos en lugar de poder de la serie. Cualquier ayuda al respecto será bienvenida.

Answer 1

Considerar la natural homomorphism ${\mathbb Z}[[x]]\otimes_{\mathbb Z}{\mathbb Q}\to{\mathbb Q}[[x]]$. Es inyectiva pero no es un isomorfismo desde $1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x^2 + ...$ no pertenece a la imagen.

¿Qué otros 'extraño' isomorphisms? Si hubo algunos isomorfismo ${\mathbb Z}[[x]]\otimes_{\mathbb Z} {\mathbb Q}\cong{\mathbb Q}[[x]]$, ${\mathbb Z}[[x]]\otimes_{\mathbb Z} {\mathbb Q}$ fue un discreto anillo de valoración, es decir, un director ideal de dominio con un único primer elemento $\pi$.

Veamos ahora los elementos $x$$x-2$${\mathbb Z}[[x]]\otimes_{\mathbb Z} {\mathbb Q}$. Ambos son no invertible en a${\mathbb Z}[[x]]\otimes_{\mathbb Z} {\mathbb Q}$:$x$, incluso no es invertible en a ${\mathbb Q}[[x]]$, y para $2-x$, es invertible en a ${\mathbb Q}[[x]]$, pero su inverso $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x^2 + ...$ no proviene de ${\mathbb Z}[[x]]\otimes_{\mathbb Z}{\mathbb Q}$. Por lo tanto $x$ $2-x$ son de la forma $\pi^k \varepsilon$ $\pi^l\eta$ $k,l\geq 1$ y unidades de $\varepsilon,\eta$. Sin embargo, esto obligaría a $x^l$ a ser asociado a $(2-x)^k$, lo cual es una contradicción ya que esto no es cierto en ${\mathbb Q}[[x]]$ $(2-x)^k$ es una unidad, sino $x^l$ no lo es.

Answer 2

Buena pregunta! Primero voy a hacer la más débil de la afirmación de que existe una natural mapa de $\mathbb{Z}[[x]] \otimes \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}[[x]]$ y que no es un isomorfismo. Esta es la inducida por la inclusión natural $\mathbb{Z}[[x]] \to \mathbb{Q}[[x]]$. En términos de la inclusión de $\mathbb{Z}[[x]] \otimes \mathbb{Q}$ es el sub-anillo de $\mathbb{Q}[[x]]$ consiste racional de poder formal de la serie cuyos coeficientes tienen un denominador común (debido a que el producto tensor consta de finito de combinaciones lineales). Así, por ejemplo, el poder formal de la serie

$$e^x = \sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{n!}$$

se encuentra en $\mathbb{Q}[[x]]$, pero no en $\mathbb{Z}[[x]] \otimes \mathbb{Q}$ debido a que sus denominadores ser arbitrariamente grande.

Conceptualmente, el problema es que el poder de la serie son un límite, pero tensor de productos de anillos conmutativos son un colimit. En general no formal para verificar que un límite de desplazamientos con un colimit; que generalmente no es cierto, y cuando es por lo general requiere de trabajo para verificar.

Ahora vamos a demostrar que ellos no son isomorfos. (Edit: Hay un error aquí, que es manejado correctamente en Hanno la respuesta.) $\mathbb{Q}[[x]]$ es un anillo local, y, en particular, tiene un único ideal maximal $(x)$, y cualquier elemento no en $(x)$ (potencia de la serie, con un valor distinto de cero término constante) es invertible. Pero $\mathbb{Z}[[x]] \otimes \mathbb{Q}$ no es un anillo local: se ha $(x)$ como máximo ideal, pero (como en Hanno respuesta) el elemento $x - 2$ no se encuentran en este máximo ideal, pero también es no invertible.

Answer 3

Que los morfismos inducida por la inclusión $\mathbb{Z}[[x]]\to\mathbb{Q}[[x]]$ no es un isomorfismo puede derivar también del grupo de teóricos de las propiedades.

Como abelian grupos, $\mathbb{Z}[[x]]$ $\mathbb{Q}[[x]]$ son sólo productos directos de copias de $\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$. Considere la secuencia exacta $$ 0\to \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}\ \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \ (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\mathbb{N}} \to0 $$ Tensoring ingenio $\mathbb{Q}$ plano, obtenemos la secuencia exacta $$ \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q}\ \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q} \ (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q} \to0 $$ pero el grupo $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\mathbb{N}}$ no está de torsión, por lo que $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q}\ne0$, lo que significa que $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q}$ no es surjective.

(Tenga en cuenta que el mapa de $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q}\ \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q}$ is injective because $\mathbb{Q}$ es plana, pero es irrelevante para el problema en la mano.)

Sin embargo, $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}\otimes\mathbb{Q}$ son isomorfos (a través de un mapa diferente). De hecho, ambos son de torsión libre divisible entre los grupos (es decir, $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales) con la misma cardinalidad $2^{\aleph_0}$, por lo que tienen la misma dimensión $2^{\aleph_0}$ (suponiendo que la elección, por supuesto). Sin embargo, como se muestra en la otra respuesta, este grupo de isomorfismo no puede ser un anillo homomorphism.

Answer 4

De hecho, queremos demostrar que $S^{-1}(\mathbb Z[[X]])\not\simeq(S^{-1}\mathbb Z)[[X]]$ donde $S=\mathbb Z-\{0\}$.
Esto es más o menos obvio: el segundo anillo (es$\mathbb Q[[X]]$, y) es local, como ya se notó, mientras que la primera tiene un montón de máxima ideales: de todos los ideales de a $\mathbb Z[[X]]$ generado por $X-p$, $p\in\mathbb Z$ a (no negativo) de los números primos, da lugar a un ideal maximal en $S^{-1}(\mathbb Z[[X]])$.