¿Por qué la multiplicación de la matriz no está hecho de la misma manera como la suma de la matriz (es decir, añadir las entradas correspondientes)? Sé que está relacionado con la transformación lineal, sino por la lectura del libro yo soy incapaz de visualizar.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- La intuición detrás de la Multiplicación de la Matriz (5 respuestas )
- Rápido(est) y formas intuitivas de mirar a la multiplicación de la matriz? (4 respuestas )
Respuestas
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wgrenard
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En suma, la multiplicación de la matriz se define de la manera que es, porque corresponde a la composición de transformaciones lineales (finito dimensionales) espacios vectoriales. Esto es lo que Cameron Williams se menciona en los comentarios.
Para un ejemplo muy sencillo de esto en acción, considere la posibilidad de rotaciones de vectores en el plano $\mathbb{R}^2$. Una rotación es un ejemplo de una transformación lineal, la cual puede ser representada como una matriz. Por ejemplo, la rotación en sentido antihorario por $90^\circ$ puede ser representada por la matriz
$$ R_{90} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Tenga en cuenta que si usted comienza con el vector $(1,0)^T$ $R_{90}$ gira por $90^\circ$ como sigue
$$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
De la misma manera que si hacemos el cálculo con cualquier otro vector en $\mathbb{R}^2$, la matriz $R_{90}$ solo tienes que girar el vector por $90^\circ$. Usted puede obtener una matriz como esta para cualquier grado de rotación. Por ejemplo
$$ R_{180} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
es la matriz que corresponde a la rotación en sentido antihorario por $180^\circ$. Probarlo en un par de vectores si usted no ha visto esto antes.
Ahora al punto. Tenga en cuenta que las rotaciones puede estar compuesto (es decir, se puede realizar una rotación después de la otra para alcanzar un total de rotación). Componer dos $90^\circ$ rotaciones de los resultados en un total $180^\circ$ rotación. De la misma manera que nosotros, naturalmente, puede componer estas transformaciones lineales sería agradable si había una manera de "componer" la matriz $R_{90}$ con sí mismo para producir la matriz $R_{180}$. Bien, porque de la forma en que la multiplicación de matrices se define, podemos hacer esta multiplicando $R_{90}$ por sí mismo. Observar que
$$ R_{90}\cdot R_{90} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = R_{180} $$
John Fouhy
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759
Matrices a veces se multiplican en este camino. Esto se conoce como el producto de Hadamard, Schur producto, o entrywise producto, y viene en la teoría de los esquemas de asociación, por ejemplo.
La multiplicación de la matriz que se suele enseñar de una forma completamente arbitraria operación. Esto es similar a la definición de la multiplicación de números enteros mediante la especificación de la larga algoritmo de la multiplicación. Es mucho mejor pensar en la multiplicación de la matriz semánticamente. Hay por lo menos dos prominentes semántica de maneras de pensar acerca de las matrices:
Una matriz es una forma de representar una transformación lineal dada una base específica para el espacio vectorial subyacente. Cuando se componen de dos transformaciones lineales, la matriz de la compuesta de transformación se obtiene mediante la multiplicación de la matriz.
Un sistema de ecuaciones lineales puede ser expresado en la forma $Ax = b$. Al $x$ $b$ tienen las mismas dimensiones y no hay una única solución, la única solución está dada por la fórmula $x = A^{-1}b$ donde $A^{-1}$ es el inverso multiplicativo de a $A$ con respecto a la multiplicación de la matriz.
Hay otras situaciones en las que la multiplicación de la matriz se produce de forma nativa, pero estos son quizás los dos más sencillos. Además, no es realmente una coincidencia que la misma noción de multiplicación de la matriz funciona en ambas situaciones — podemos pensar en un sistema de ecuaciones lineales como una especificación de una transformación lineal, y utilizar este conocimiento para resolver el sistema.
gnasher729
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Una matriz es generalmente no se ve como un montón de números dispuestos en un patrón rectangular. En muchos casos, una matriz es visto como algo que transforma un vector. Usted, a continuación, combinar vector de transformaciones, y averiguar de qué números se tendría que poner en una matriz para producir esa transformación.
Una muy común la combinación de transformaciones es "aplicar la transformación 1 en el vector original, a continuación, aplicar la transformación 2 en el resultado de la primera transformación. ". El común de la multiplicación de la matriz produce exactamente los números que usted necesita para hacer esto en una sola transformación.
Otra combinación es "aplicar la transformación 1 en el vector original, aplicar la transformación 2 en el vector original, a continuación, agregar los resultados". Elementwise además produce una matriz que representa a esta combinación.
La situación en la que usted quiere "aplicar la transformación 1 en el vector original, aplicar la transformación 2 en el vector original, luego multiplica los resultados" parece raro.
