¿Cómo podría usted demostrar que no es sólo un número finito de estos números primos?

Question

Para el propósito de esta pregunta se puede asumir/considerar el número de $1$ a ser un número primo, pero el resultado final no debe depender de que, es decir, que sólo hay un número finito de números primos, como la que yo he encontrado.

Yo estaba tratando por pura conjetura y la ayuda de Wolfram Alpha para encontrar tan grande como puedo, un número primo tal que el proceso de extracción de dígito por dígito nos da de nuevo los números primos.

Me pareció no tan grande como un primer que hace el trabajo.

Es $12373$. Si eliminamos el extremo derecho de la $3$ obtenemos $1237$, una de las principales. Luego de la eliminación de $2$ nos da $137$, una de las principales. Luego de la eliminación de $3$ nos da $17$, un primo, y por último, la eliminación de $1$ nos da $7$, una de las principales.

Es tan natural esperar que existe un número finito de números primos como $12373$, ya que, es de esperar que después de un cierto número de expulsiones que nos llegará a un múltiplo de $3$, por ejemplo.

Y, el más grande, el primer desde que empezamos, mayores son las posibilidades de obtener un número compuesto después de un cierto número de pasos, ya que el número de pasos para llegar a un solo dígito para el primer mayor de los números primos es mayor.

También creo que el número de primos es "tan pequeño" que todos ellos se puede encontrar con la ayuda de una computadora.

¿Cómo podría usted demostrar que no es sólo un número finito de tales números primos (como $12373$)?

EDIT: Con la ayuda de Barry (en su comentario, en virtud de un eliminados respuesta) ahora sabemos que estos son los llamados deletable de los números primos. En esta página enlazada está escrito que se cree que hay un número infinito de tales primos, mientras yo conjeturó aquí que hay sólo un número finito.

Answer 1

Tomar dos bolsas de números. En el inicio, $A$ está vacía y $B$ contiene $2,3,5$$7$.

Repetir el procedimiento siguiente:
Tomar un número, $p$ $B$ y la puso en $A$. A continuación, intente de todas las formas posibles para agregar un dígito a $p$; y poner todos los números primos que usted consiga en $B$.

Es probable que continúe para siempre. La probabilidad de que un número $N$ es primo, es de alrededor de $\dfrac1{\ln N}$. El número de maneras de agregar un dígito es de alrededor de $10\log_{10}N=(10\log_{10}e)\ln N$, por lo que el promedio de número de números primos que usted pone en la bolsa de $B$ por cada $p$ usted toma es $10\log_{10}e\approx 4.34$

Answer 2

Considere la siguiente construcción:

Podemos ir en reversa, y empezar a construir tales ejemplos comenzar con un número, y la inserción de los dígitos en ella. Si tenemos un primo, podemos continuar para añadir más dígitos. Si no es así, podemos intentar agregar el dígito a otro lugar.

Edit: Si nosotros también estamos considerando la posibilidad de ceros a la izquierda que se borran después de truncar el primer dígito, tenemos unos cuantos ejemplos que no se incluyeron en la construcción anterior.

He encontrado todos los ejemplos para el primer par de dígitos de los casos ;

O para ser más específicos, si nos fijamos en los números con $d=2,3,4,5,6\dots$ dígitos, tenemos:

$$20 ,118 ,734 ,4679, 31722\dots$$

tales números primos entre $d$ números de dos dígitos.

Parece que esta secuencia de seguir creciendo, lo que implica que hay infinitamente muchos de esos números primos. Pero esto no debe ser el caso.

Usted puede ver las listas de todos los ejemplos se dividió en las listas basadas en su longitud (dígitos) :

$d = 2$

[11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 97]

$d = 3$

[101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 271, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 397, 401, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 503, 509, 523, 541, 547, 563, 569, 571, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 733, 739, 743, 751, 761, 769, 773, 797, 811, 823, 829, 839, 853, 859, 863, 883, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 997]

$d = 4$

[1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1123, 1151, 1153, 1163, 1181, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1277, 1279, 1283, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1427, 1429, 1433, 1439, 1451, 1459, 1481, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1549, 1567, 1571, 1579, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1693, 1697, 1699, 1709, 1723, 1733, 1753, 1759, 1783, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1861, 1867, 1871, 1873, 1879, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2083, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2161, 2179, 2203, 2213, 2237, 2239, 2243, 2269, 2273, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2371, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2441, 2467, 2503, 2539, 2593, 2609, 2617, 2633, 2647, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2689, 2693, 2699, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2791, 2797, 2803, 2833, 2837, 2843, 2903, 2939, 2953, 2963, 2969, 2971, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3061, 3067, 3079, 3083, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3181, 3187, 3191, 3217, 3229, 3253, 3259, 3271, 3301, 3307, 3313, 3319, 3331, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3391, 3407, 3413, 3433, 3457, 3461, 3463, 3467, 3491, 3511, 3517, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3559, 3571, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3823, 3833, 3847, 3853, 3863, 3907, 3911, 3917, 3919, 3929, 3931, 3947, 3967, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4127, 4129, 4133, 4139, 4157, 4159, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4261, 4271, 4283, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4421, 4423, 4457, 4463, 4483, 4493, 4507, 4517, 4519, 4523, 4547, 4561, 4567, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4721, 4729, 4733, 4751, 4759, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4987, 5003, 5009, 5011, 5023, 5039, 5059, 5099, 5101, 5107, 5113, 5147, 5167, 5171, 5179, 5197, 5209, 5231, 5233, 5237, 5273, 5303, 5309, 5323, 5347, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5471, 5477, 5479, 5503, 5563, 5569, 5623, 5639, 5641, 5647, 5653, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5741, 5743, 5791, 5839, 5869, 5903, 5923, 5939, 5953, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6091, 6101, 6113, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6211, 6217, 6229, 6247, 6263, 6269, 6271, 6277, 6301, 6311, 6317, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6397, 6421, 6427, 6451, 6473, 6481, 6491, 6529, 6547, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6599, 6607, 6619, 6653, 6659, 6661, 6673, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6791, 6793, 6803, 6823, 6829, 6833, 6841, 6863, 6883, 6907, 6911, 6917, 6947, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7039, 7043, 7069, 7079, 7103, 7109, 7127, 7129, 7151, 7159, 7193, 7211, 7219, 7229, 7243, 7283, 7297, 7307, 7309, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7433, 7451, 7457, 7487, 7517, 7523, 7541, 7547, 7561, 7573, 7591, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7691, 7699, 7703, 7723, 7753, 7793, 7823, 7829, 7853, 7873, 7883, 7901, 7907, 7919, 7927, 7933, 7937, 7951, 8011, 8017, 8039, 8053, 8059, 8101, 8111, 8117, 8123, 8161, 8167, 8171, 8179, 8191, 8209, 8219, 8231, 8233, 8237, 8243, 8263, 8269, 8273, 8291, 8293, 8297, 8311, 8317, 8329, 8353, 8363, 8369, 8389, 8419, 8423, 8429, 8431, 8443, 8461, 8467, 8513, 8537, 8539, 8543, 8563, 8573, 8597, 8599, 8623, 8629, 8641, 8647, 8663, 8677, 8693, 8719, 8753, 8761, 8783, 8803, 8831, 8837, 8839, 8863, 8893, 8923, 8929, 8941, 8963, 8971, 9001, 9007, 9011, 9013, 9029, 9041, 9043, 9059, 9067, 9103, 9109, 9127, 9137, 9151, 9157, 9161, 9173, 9181, 9199, 9209, 9239, 9241, 9277, 9283, 9293, 9311, 9319, 9337, 9341, 9371, 9377, 9397, 9413, 9419, 9421, 9431, 9433, 9437, 9439, 9461, 9463, 9467, 9473, 9479, 9491, 9497, 9511, 9533, 9539, 9547, 9601, 9613, 9619, 9629, 9631, 9643, 9661, 9677, 9679, 9697, 9719, 9721, 9733, 9739, 9743, 9767, 9769, 9781, 9787, 9791, 9803, 9811, 9829, 9833, 9839, 9859, 9871, 9883, 9907, 9929, 9941, 9967, 9973]

Puedo subir listas para $d\ge5$ si quieres.

---

Esto no responde a su pregunta como una prueba real (refutación), este es todavía un problema abierto como Barry Cipra escribió en los comentarios.

Michael en su respuesta proporciona un razonamiento de por qué esta conjetura es probable que sea cierto.