¿Por qué esta combinación de más cercano de funciones enteras --- sorprendentemente --- continua?

Question

Bien, yo no sabía que la mejor manera de formular mi pregunta. Básicamente, mientras que haciendo algunas investigaciones de la física, yo, naturalmente, llegó a la función

$$ f(x) = 2x[x] - [x]^2 $$

donde puedo usar $[x]$ como notación para la "más cercano de la función de entero' (es decir, el redondeo). Normalmente, esta función tiene que tener una advertencia de cómo podemos definir exactamente el valor de $x \in \frac{1}{2} \mathbb Z$, pero curiosamente para esta función no importa, ya que resulta ser continua! De hecho, resulta $f(x)$ es exactamente dada por el pegado de la función de tomar todas las de la tangente a las líneas de $x^2$ a los valores enteros de a $x$:

(Nota: debido a las propiedades de $x^2$, la tangente exactamente las líneas se cruzan en la mitad-los valores enteros de a $x$.)

Así que mi pregunta no es , literalmente, `¿por qué es continua?', sino más bien: teniendo en cuenta que es continua, y teniendo en cuenta que eso no es un genérico de propiedad de las funciones que se definen en términos de la más cercana-funciones enteras, existe una mejor (es decir, más perspicaz) forma de expresar $f(x)$? Relatedly, ¿hay alguna parte de las matemáticas, donde funciones similares a las de estos surgen de forma natural?

Answer 1

Deje $g(x,y)$ ser cualquier función continua tal que $g(x,-\frac12)=g(x,\frac12)$. A continuación, $f(x)=g(x,x-[x])$ es continua.

En particular, su función está dada por $g(x,y)=x^2-y^2$. En consecuencia, podemos escribir $f(x)=x^2 - (x-[x])^2$.

Answer 2

Llamar a una función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ raro-continuo el fib para todos los $x \in \mathbb{R}$, la izquierda y la derecha de los límites de $f$ $x$ existen, si son o no son iguales. Definir el extraño derivado $\Delta f$ de una función de $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ a ser la función de $\Delta f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido por: $$\Delta(f)(x) = (\lim_+f)(x)-(\lim_-f)(x),$$ where for example the $(\lim_+f)(x)$ denotes the limit of $f(x')$ as a $x'$ approaches $x$ desde la derecha.

También, para cada una de las $a \in \mathbb{R}$, escribir $\langle a \rangle$ para la función de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ define de la siguiente manera:

$$\langle a \rangle (x) = \begin{cases} 1 & x = a \\ 0 & x \neq a\end{cases}$$

Por ejemplo:

• si $H$ es la función escalón unitario, a continuación,$\Delta (H) = \langle 0\rangle$.
• si $H$ es la función escalón unitario, a continuación,$\Delta (x \mapsto 3H(x-1)+4H(x-2)) = 3\langle 1\rangle+4\langle 2\rangle$.
• si $f$ es continuo,$\Delta(f) = 0$.

Dejando $f$ $g$ denotar extraño de funciones continuas, los resultados básicos (creo) son:

La proposición de 0. Supongamos $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ no tiene extraíble discontinuidades. A continuación, $f$ es continua iff $\Delta f = 0$.

Proposición 1. Aditividad $\Delta(f+g) = \Delta(f)+\Delta(g)$ $\Delta(0) = 0$.

Proposición 2. Producto De La Regla. $\Delta (fg) = \Delta(f)g + f \Delta(g)$

(Es el producto de la regla, incluso, cierto? Yo realmente no lo uso más abajo...)

Corolario de la regla del producto. Extraño los derivados son lineales con respecto a funciones continuas, lo que significa que si $f$ es continuo,$\Delta(fg) = f\Delta(g)$.

Ahora piensa en $x$ como la identidad de la función $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Deje $f = 2 x [x] - [x]^2$.

Para demostrar que $f$ es continua, vamos a mostrar que $\Delta(f) = 0$. Tenemos:

$$\Delta (f) = \Delta(2 x [x] - [x]^2) = 2 x \Delta(x) - \Delta([x]^2)$$

También: $$\Delta([x]) = \left(\sum_{n \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\langle n\rangle\right)$$

Además: $$\Delta([x]^2) = \sum_{n \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}}((n+1/2)^2 - (n-1/2)^2)\langle n\rangle = \sum_{n \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}}(n+1/2+n-1/2)(n+1/2-n+1/2)\langle n\rangle = \sum_{n \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}}2n\langle n\rangle$$

Por lo tanto: $$\Delta (f) = 2x\left(\sum_{n \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\langle n\rangle\right)-\sum_{n \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}}2n\langle n\rangle = \sum_{n \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}}2n\langle n\rangle-\sum_{n \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}}2n\langle n\rangle = 0$$

Por lo $f$ es continua.

Answer 3

existe una mejor (es decir, más perspicaz) forma de expresar $f(x)$?

Tal vez una manera de hacerlo es haciendo notar que $$ f(x) = \max_{k\in\mathbb{Z}} \left( 2kx-k^2 \right). $$ Puesto que, en cualquier intervalo de longitud fija, $f$ es el máximo de un número finito de funciones continuas, entonces es continua.

¿hay alguna parte de las matemáticas, donde funciones similares a las de estos surgen de forma natural?

Personalmente, me he encontrado con esto mucho en la teoría de la información, cuando muchos inferior/superior límites en las tasas de comunicación se derivan juntos, lo que implica que el max/min de estos límites tiene. Esto es especialmente cierto cuando muchos diferentes desigualdades lineales pueden ser de origen natural y hacer sentido intuitivo. Por ejemplo, $$ \begin{cases} R_1 \ge 2-4R_2\\ R_1 \ge 1-R_2 \end{casos} \implica R_1 \ge \max\left\{ 2-4R_2, 1-R_2 \right\}. $$ Si realmente quieres un ejemplo, la parte superior de mi cabeza, no puedo pensar Teorema 2 en este trabajo.

Answer 4

La diferencia entre el redondeo (función constante a trozos) y $x$ es una onda triangular, es decir, un modelo lineal por tramos, periódico, van en $[-\frac12,\frac12)$.

Si usted cuadrado, se obtiene un continuo, a trozos función cuadrática. Esto es suficiente para explicar su observación.

Answer 5

Dado un $k$-veces derivable la función $g$ tal que para cada entero $n$, $$\int_n^{n+1} g^{(k+1)}(t)(n+0.5-t)\,dt=0$$ we have that the following function is continous $$f(x) = g([x]) + \frac{(x-[x])^1}{1!}g'([x])+\frac{(x-[x])^2}{2!}g''([x])+\cdots+\frac{(x-[x])^k}{k!}g^{(k)}([x])$$

(En su caso, $g(x) = x^2$$k=1$)

Observe que la función que hemos definido es igual a un montón de tangente líneas (o aproximaciones lineales) "pegadas". Si miramos el gráfico, verás que en valores enteros, $f(x)$ es tangente a $x^2$. Usted puede verificar que esta caracterización de la función de $f$ es cierto porque la función es localmente lineal, y es igual a $x^2$ a valores enteros.

Esto lleva a la pregunta de: ¿Para qué funciones $g$ es cierto que la aproximación lineal centrada en $n\in \mathbb Z$ es igual a la aproximación lineal centrada en$n+1$,$x=n+0.5$. Vamos a determinar con precisión cuando este es el caso, mediante el uso del teorema de Taylor con la forma integral de el resto término.

Así que a $a=n$$x=n+0.5$, tenemos que el de Taylor de primer orden de aproximación es: $$g(n+0.5) =g(n) + 0.5g'(n) + \int_n^{n+0.5}g''(t)(n+0.5-t)\,dt$$ Y en$a=n+1$$x=n+0.5$, tenemos que: $$g(n+0.5) = g(n+1) - 0.5g'(n+1) + \int_{n+1}^{n+0.5} g''(t)(n+0.5-t)\,dt$$ Las dos aproximaciones lineales centrado en $a=n$ $a=n+1$ está de acuerdo en$x=n+0.5$, precisamente cuando su resto de los términos son los mismos, es decir,: $$\int_n^{n+0.5}g''(t)(n+0.5-t)\,dt =\int_{n+1}^{n+0.5} g''(t)(n+0.5-t)\,dt$$ which we can rearrange to $$\int_n^{n+1} g''(t)(n+0.5-t)\,dt=0$$ In particular, this is true whenever $ g"(t)$ is symmetric around $n+0.5$.

De $g$, podemos definir una función de $f$ que es igual a la de la tangente a las líneas de $g$ pegadas, como sigue: $$f(x) = (x - [x]) g'([x]) + g([x]) $$